Theorem bdeq0 13054

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the empty class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeq0	⊢ BOUNDED 𝑥 = ∅

Proof of Theorem bdeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcnul 13052	. . 3 ⊢ BOUNDED ∅
2	1	bdss 13051	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑥 ⊆ ∅
3		0ss 3396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
4		eqss 3107	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝑥))
5	3, 4	mpbiran2 925	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ 𝑥 ⊆ ∅)
6	2, 5	bd0r 13012	1 ⊢ BOUNDED 𝑥 = ∅

Syntax hints:   = wceq 1331   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358  BOUNDED wbd 12999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-bd0 13000  ax-bdim 13001  ax-bdn 13004  ax-bdal 13005  ax-bdeq 13007

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-bdc 13028

This theorem is referenced by:  bj-bd0el  13055  bj-nn0suc0  13137