ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 GIF version

Theorem bernneq3 9539
Description: A corollary of bernneq 9537. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 8248 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantl 266 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2re 7210 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 14 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5 eluzelre 8579 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6 reexpcl 9437 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
75, 6sylan 271 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
82ltp1d 7971 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9 uz2m1nn 8639 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
109adantr 265 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
1110nnred 8003 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1211, 2remulcld 7115 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
13 peano2re 7210 . . . 4 (((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 14 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
15 1red 7100 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
16 nn0ge0 8264 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1716adantl 266 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
1810nnge1d 8032 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 7979 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
202, 12, 15, 19leadd1dd 7624 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
215adantr 265 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
22 simpr 107 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 8608 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ0)
24 nn0ge0 8264 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑃)
2523, 24syl 14 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2625adantr 265 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑃)
27 bernneq2 9538 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1146 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
294, 14, 7, 20, 28letrd 7199 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃𝑁))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 7492 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119  cle 7120  cmin 7245  cn 7990  2c2 8040  0cn0 8239  cuz 8569  cexp 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376  df-iexp 9420
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  9846  resqrexlemga  9850  pw2dvds  10254
  Copyright terms: Public domain W3C validator