ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlema GIF version

Theorem bezoutlema 10579
Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlema.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bezoutlema (𝜃[𝐴 / 𝑟]𝜑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlema
StepHypRef Expression
1 1z 8494 . . 3 1 ∈ ℤ
2 0z 8479 . . 3 0 ∈ ℤ
3 bezoutlema.b . . . . . . 7 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 8446 . . . . . 6 (𝜃𝐵 ∈ ℂ)
54mul01d 7600 . . . . 5 (𝜃 → (𝐵 · 0) = 0)
65oveq2d 5580 . . . 4 (𝜃 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 1) + 0))
7 bezoutlema.a . . . . . . 7 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
87nn0cnd 8446 . . . . . 6 (𝜃𝐴 ∈ ℂ)
9 1cnd 7233 . . . . . 6 (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 7237 . . . . 5 (𝜃 → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
1110addid1d 7360 . . . 4 (𝜃 → ((𝐴 · 1) + 0) = (𝐴 · 1))
128mulid1d 7234 . . . 4 (𝜃 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
136, 11, 123eqtrrd 2120 . . 3 (𝜃𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
14 oveq2 5572 . . . . . 6 (𝑠 = 1 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 1))
1514oveq1d 5579 . . . . 5 (𝑠 = 1 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)))
1615eqeq2d 2094 . . . 4 (𝑠 = 1 → (𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡))))
17 oveq2 5572 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 0))
1817oveq2d 5580 . . . . 5 (𝑡 = 0 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
1918eqeq2d 2094 . . . 4 (𝑡 = 0 → (𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))))
2016, 19rspc2ev 2724 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
211, 2, 13, 20mp3an12i 1273 . 2 (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22 bezoutlema.is-bezout . . . . 5 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23 eqeq1 2089 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24232rexbidv 2396 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
2522, 24syl5bb 190 . . . 4 (𝑟 = 𝐴 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
2625sbcieg 2856 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
277, 26syl 14 . 2 (𝜃 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
2821, 27mpbird 165 1 (𝜃[𝐴 / 𝑟]𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354  [wsbc 2825  (class class class)co 5564  0cc0 7079  1c1 7080   + caddc 7082   · cmul 7084  0cn0 8391  cz 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469
This theorem is referenced by:  bezoutlemex  10581
  Copyright terms: Public domain W3C validator