ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemmo GIF version

Theorem bezoutlemmo 10586
Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
bezoutlemmo.5 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
bezoutlemmo.6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
Assertion
Ref Expression
bezoutlemmo (𝜑𝐷 = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmo
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.3 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2 bezoutlemmo.5 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
31nn0zd 8584 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4 iddvds 10400 . . . 4 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
53, 4syl 14 . . 3 (𝜑𝐷𝐷)
6 breq1 3809 . . . . 5 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐷𝐷𝐷))
7 breq1 3809 . . . . 5 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐸𝐷𝐸))
86, 7bibi12d 233 . . . 4 (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧𝐷𝑧𝐸) ↔ (𝐷𝐷𝐷𝐸)))
9 bezoutlemgcd.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
10 bezoutlemmo.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
11 r19.26 2490 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
129, 10, 11sylanbrc 408 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
13 biantr 894 . . . . . 6 (((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → (𝑧𝐷𝑧𝐸))
1413ralimi 2431 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝑧𝐸 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷𝑧𝐸))
1512, 14syl 14 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷𝑧𝐸))
168, 15, 3rspcdva 2716 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐷𝐷𝐸))
175, 16mpbid 145 . 2 (𝜑𝐷𝐸)
182nn0zd 8584 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
19 iddvds 10400 . . . 4 (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸𝐸)
2018, 19syl 14 . . 3 (𝜑𝐸𝐸)
21 breq1 3809 . . . . 5 (𝑧 = 𝐸 → (𝑧𝐷𝐸𝐷))
22 breq1 3809 . . . . 5 (𝑧 = 𝐸 → (𝑧𝐸𝐸𝐸))
2321, 22bibi12d 233 . . . 4 (𝑧 = 𝐸 → ((𝑧𝐷𝑧𝐸) ↔ (𝐸𝐷𝐸𝐸)))
2423, 15, 18rspcdva 2716 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐷𝐸𝐸))
2520, 24mpbird 165 . 2 (𝜑𝐸𝐷)
26 dvdseq 10440 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷𝐸𝐸𝐷)) → 𝐷 = 𝐸)
271, 2, 17, 25, 26syl22anc 1171 1 (𝜑𝐷 = 𝐸)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353   class class class wbr 3806  0cn0 8391  cz 8468  cdvds 10387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  10587
  Copyright terms: Public domain W3C validator