ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemsup GIF version

Theorem bezoutlemsup 10605
Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
bezoutlemgcd.5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
Assertion
Ref Expression
bezoutlemsup (𝜑𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemsup
Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
21nn0red 8461 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3 elrabi 2754 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} → 𝑤 ∈ ℤ)
43adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℤ)
54zred 8602 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℝ)
62adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
7 breq1 3808 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
8 breq1 3808 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
97, 8anbi12d 457 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
109elrab 2757 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1110simprbi 269 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} → (𝑤𝐴𝑤𝐵))
1211adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → (𝑤𝐴𝑤𝐵))
13 breq1 3808 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐷𝑤𝐷))
149, 13imbi12d 232 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷) ↔ ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → 𝑤𝐷)))
15 bezoutlemgcd.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
16 bezoutlemgcd.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
17 bezoutlemgcd.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
18 bezoutlemgcd.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1915, 16, 1, 17, 18bezoutlemle 10604 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
2019adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℤ) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
21 simpr 108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
2214, 20, 21rspcdva 2715 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → 𝑤𝐷))
233, 22sylan2 280 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → 𝑤𝐷))
2412, 23mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝑤𝐷)
255, 6, 24lensymd 7350 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → ¬ 𝐷 < 𝑤)
2625ralrimiva 2439 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤)
271nn0zd 8600 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
28 iddvds 10416 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐷)
30 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐷𝐷𝐷))
31 breq1 3808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐴𝐷𝐴))
32 breq1 3808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐵𝐷𝐵))
3331, 32anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
3430, 33bibi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝐷𝐷 ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵))))
3534, 17, 27rspcdva 2715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐷 ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
3629, 35mpbid 145 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐴𝐷𝐵))
3736ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷𝐴𝐷𝐵))
381ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 8600 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4033elrab3 2758 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
4237, 41mpbird 165 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)})
43 breq2 3809 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐷 → (𝑤 < 𝑢𝑤 < 𝐷))
4443rspcev 2710 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢)
4542, 44sylancom 411 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢)
4645ex 113 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢))
4746ralrimiva 2439 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢))
48 lttri3 7310 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4948adantl 271 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5049eqsupti 6503 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷))
512, 26, 47, 50mp3and 1272 . 2 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷)
5251eqcomd 2088 1 (𝜑𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357   class class class wbr 3805  supcsup 6489  cr 7094  0cc0 7095   < clt 7267  cle 7268  0cn0 8407  cz 8484  cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  dfgcd3  10606
  Copyright terms: Public domain W3C validator