ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemsup GIF version

Theorem bezoutlemsup 11624
Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
bezoutlemgcd.5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
Assertion
Ref Expression
bezoutlemsup (𝜑𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemsup
Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
21nn0red 8999 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3 elrabi 2810 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} → 𝑤 ∈ ℤ)
43adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℤ)
54zred 9141 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝑤 ∈ ℝ)
62adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
7 breq1 3902 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
8 breq1 3902 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
97, 8anbi12d 464 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
109elrab 2813 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1110simprbi 273 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} → (𝑤𝐴𝑤𝐵))
1211adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → (𝑤𝐴𝑤𝐵))
13 breq1 3902 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐷𝑤𝐷))
149, 13imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷) ↔ ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → 𝑤𝐷)))
15 bezoutlemgcd.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
16 bezoutlemgcd.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
17 bezoutlemgcd.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
18 bezoutlemgcd.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1915, 16, 1, 17, 18bezoutlemle 11623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
2019adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℤ) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
21 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
2214, 20, 21rspcdva 2768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → 𝑤𝐷))
233, 22sylan2 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → 𝑤𝐷))
2412, 23mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → 𝑤𝐷)
255, 6, 24lensymd 7852 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}) → ¬ 𝐷 < 𝑤)
2625ralrimiva 2482 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤)
271nn0zd 9139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
28 iddvds 11433 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐷)
30 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐷𝐷𝐷))
31 breq1 3902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐴𝐷𝐴))
32 breq1 3902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐷 → (𝑧𝐵𝐷𝐵))
3331, 32anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
3430, 33bibi12d 234 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝐷𝐷 ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵))))
3534, 17, 27rspcdva 2768 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐷 ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
3629, 35mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐴𝐷𝐵))
3736ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷𝐴𝐷𝐵))
381ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 9139 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4033elrab3 2814 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ↔ (𝐷𝐴𝐷𝐵)))
4237, 41mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)})
43 breq2 3903 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐷 → (𝑤 < 𝑢𝑤 < 𝐷))
4443rspcev 2763 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢)
4542, 44sylancom 416 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 < 𝐷) → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢)
4645ex 114 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢))
4746ralrimiva 2482 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢))
48 lttri3 7812 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4948adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5049eqsupti 6851 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)} ¬ 𝐷 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑤 < 𝐷 → ∃𝑢 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}𝑤 < 𝑢)) → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷))
512, 26, 47, 50mp3and 1303 . 2 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ) = 𝐷)
5251eqcomd 2123 1 (𝜑𝐷 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝐴𝑧𝐵)}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  {crab 2397   class class class wbr 3899  supcsup 6837  cr 7587  0cc0 7588   < clt 7768  cle 7769  0cn0 8945  cz 9022  cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  dfgcd3  11625
  Copyright terms: Public domain W3C validator