Theorem binom2sub 9736

Description: Expand the square of a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
binom2sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7427	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		binom2 9734	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)))
3	1, 2	sylan2 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)))
4		negsub 7475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	oveq1d 5578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵)↑2) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
6	3, 5	eqtr3d 2117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
7		mulneg2 7619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
8	7	oveq2d 5579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · -𝐵)) = (2 · -(𝐴 · 𝐵)))
9		2cn 8229	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		mulcl 7214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		mulneg2 7619	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · -(𝐴 · 𝐵)) = -(2 · (𝐴 · 𝐵)))
12	9, 10, 11	sylancr 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · -(𝐴 · 𝐵)) = -(2 · (𝐴 · 𝐵)))
13	8, 12	eqtr2d 2116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · -𝐵)))
14	13	oveq2d 5579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + -(2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))))
15		sqcl 9686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
16	15	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17		mulcl 7214	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
18	9, 10, 17	sylancr 405	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 7544	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + -(2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))))
20	14, 19	eqtr3d 2117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) = ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))))
21		sqneg 9684	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵↑2) = (𝐵↑2))
22	21	adantl 271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵↑2) = (𝐵↑2))
23	20, 22	oveq12d 5581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
24	6, 23	eqtr3d 2117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5563  ℂcc 7093   + caddc 7098   · cmul 7100   − cmin 7398  -cneg 7399  2c2 8208  ↑cexp 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-iseq 9574  df-iexp 9625

This theorem is referenced by:  binom2subi  9737  resqrexlemover  10097  resqrexlemcalc1  10101  amgm2  10205