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Theorem binom3 9676
 Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 8155 . . . 4 3 = (2 + 1)
21oveq2i 5548 . . 3 ((𝐴 + 𝐵)↑3) = ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1))
3 addcl 7149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 2nn0 8361 . . . 4 2 ∈ ℕ0
5 expp1 9569 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
63, 4, 5sylancl 404 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
72, 6syl5eq 2126 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
8 sqcl 9623 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
93, 8syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10 simpl 107 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simpr 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
129, 10, 11adddid 7194 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)))
13 binom2 9671 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
1413oveq1d 5552 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴))
15 sqcl 9623 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17 2cn 8166 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
18 mulcl 7151 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19 mulcl 7151 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2017, 18, 19sylancr 405 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2116, 20addcld 7189 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22 sqcl 9623 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2421, 23, 10adddird 7195 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)))
2516, 20, 10adddird 7195 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
261oveq2i 5548 . . . . . . . . 9 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
27 expp1 9569 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2810, 4, 27sylancl 404 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2926, 28syl5eq 2126 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
30 sqval 9620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3231oveq1d 5552 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
3310, 10, 11mul32d 7317 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
3432, 33eqtrd 2114 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
3534oveq2d 5553 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
36 2cnd 8168 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
3736, 18, 10mulassd 7193 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
3835, 37eqtr4d 2117 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴))
3929, 38oveq12d 5555 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
4025, 39eqtr4d 2117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
4123, 10mulcomd 7191 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
4240, 41oveq12d 5555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
4314, 24, 423eqtrd 2118 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
4413oveq1d 5552 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵))
4521, 23, 11adddird 7195 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
46 sqval 9620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
4847oveq2d 5553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
4910, 11, 11mulassd 7193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
5048, 49eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵))
5150oveq2d 5553 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
5236, 18, 11mulassd 7193 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
5351, 52eqtr4d 2117 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵))
5453oveq2d 5553 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
5516, 20, 11adddird 7195 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
5654, 55eqtr4d 2117 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵))
571oveq2i 5548 . . . . . . . 8 (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
58 expp1 9569 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
5911, 4, 58sylancl 404 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
6057, 59syl5eq 2126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
6156, 60oveq12d 5555 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
6216, 11mulcld 7190 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
6310, 23mulcld 7190 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
64 mulcl 7151 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
6517, 63, 64sylancr 405 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
66 3nn0 8362 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
67 expcl 9580 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
6811, 66, 67sylancl 404 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
6962, 65, 68addassd 7192 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7061, 69eqtr3d 2116 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7144, 45, 703eqtrd 2118 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7243, 71oveq12d 5555 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
73 expcl 9580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
7410, 66, 73sylancl 404 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
75 mulcl 7151 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
7617, 62, 75sylancr 405 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
7774, 76addcld 7189 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
7865, 68addcld 7189 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
7977, 63, 62, 78add4d 7333 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
8012, 72, 793eqtrd 2118 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
8174, 76, 62addassd 7192 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
821oveq1i 5547 . . . . . . 7 (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵))
83 1cnd 7186 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8436, 83, 62adddird 7195 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
8582, 84syl5eq 2126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
8662mulid2d 7188 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
8786oveq2d 5553 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
8885, 87eqtrd 2114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
8988oveq2d 5553 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
9081, 89eqtr4d 2117 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
91 1p2e3 8222 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
9291oveq1i 5547 . . . . . . 7 ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑2)))
9383, 36, 63adddird 7195 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9492, 93syl5eqr 2128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9563mulid2d 7188 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
9695oveq1d 5552 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9794, 96eqtrd 2114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9897oveq1d 5552 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)))
9963, 65, 68addassd 7192 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10098, 99eqtr2d 2115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))
10190, 100oveq12d 5555 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
1027, 80, 1013eqtrd 2118 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5537  ℂcc 7030  1c1 7033   + caddc 7035   · cmul 7037  2c2 8145  3c3 8146  ℕ0cn0 8344  ↑cexp 9561 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-iseq 9511  df-iexp 9562 This theorem is referenced by: (None)
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