Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-d0clsepcl GIF version

Theorem bj-d0clsepcl 10415
Description: Δ0-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-d0clsepcl DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3911 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21bj-snex 10399 . . . . . 6 {∅} ∈ V
32zfauscl 3904 . . . . 5 𝑎𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4 eleq1 2116 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5 eleq1 2116 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
65anbi1d 446 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
74, 6bibi12d 228 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
81, 7spcv 2663 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
93, 8eximii 1509 . . . 4 𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
101snid 3429 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
1110biantrur 291 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
1211bicomi 127 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
1312bibi2i 220 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎𝜑))
1413exbii 1512 . . . 4 (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑))
159, 14mpbi 137 . . 3 𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑)
16 bj-bd0el 10354 . . . . 5 BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
1716ax-bj-d0cl 10410 . . . 4 DECID ∅ ∈ 𝑎
18 bj-dcbi 10414 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎DECID 𝜑))
1917, 18mpbii 140 . . 3 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → DECID 𝜑)
2015, 19eximii 1509 . 2 𝑎DECID 𝜑
21 bj-ex 10268 . 2 (∃𝑎DECID 𝜑DECID 𝜑)
2220, 21ax-mp 7 1 DECID 𝜑
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  DECID wdc 753  wal 1257   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  c0 3251  {csn 3402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pr 3971  ax-bd0 10299  ax-bdim 10300  ax-bdor 10302  ax-bdn 10303  ax-bdal 10304  ax-bdex 10305  ax-bdeq 10306  ax-bdsep 10370  ax-bj-d0cl 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-sn 3408  df-pr 3409  df-bdc 10327
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator