Theorem bj-d0clsepcl 13112

Description: Δ₀-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-d0clsepcl	⊢ DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4050	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	bj-snex 13100	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	zfauscl 4043	. . . . 5 ⊢ ∃𝑎∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4		eleq1 2200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5		eleq1 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
6	5	anbi1d 460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
7	4, 6	bibi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
8	1, 7	spcv 2774	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
9	3, 8	eximii 1581	. . . 4 ⊢ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
10	1	snid 3551	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
11	10	biantrur 301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
12	11	bicomi 131	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
13	12	bibi2i 226	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑))
14	13	exbii 1584	. . . 4 ⊢ (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑))
15	9, 14	mpbi 144	. . 3 ⊢ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑)
16		bj-bd0el 13055	. . . . 5 ⊢ BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
17	16	ax-bj-d0cl 13111	. . . 4 ⊢ DECID ∅ ∈ 𝑎
18		dcbiit 824	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎 ↔ DECID 𝜑))
19	17, 18	mpbii 147	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑) → DECID 𝜑)
20	15, 19	eximii 1581	. 2 ⊢ ∃𝑎DECID 𝜑
21		bj-ex 12958	. 2 ⊢ (∃𝑎DECID 𝜑 → DECID 𝜑)
22	20, 21	ax-mp 5	1 ⊢ DECID 𝜑

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 819  ∀wal 1329   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∅c0 3358  {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pr 4126  ax-bd0 13000  ax-bdim 13001  ax-bdor 13003  ax-bdn 13004  ax-bdal 13005  ax-bdex 13006  ax-bdeq 13007  ax-bdsep 13071  ax-bj-d0cl 13111

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-pr 3529  df-bdc 13028

This theorem is referenced by: (None)