Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-om GIF version

Theorem bj-om 10427
Description: A set is equal to ω if and only if it is the smallest inductive set. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-om (𝐴𝑉 → (𝐴 = ω ↔ (Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem bj-om
StepHypRef Expression
1 bj-omind 10424 . . . 4 Ind ω
2 bj-indeq 10419 . . . 4 (𝐴 = ω → (Ind 𝐴 ↔ Ind ω))
31, 2mpbiri 161 . . 3 (𝐴 = ω → Ind 𝐴)
4 vex 2577 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
5 bj-omssind 10425 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (Ind 𝑥 → ω ⊆ 𝑥))
64, 5ax-mp 7 . . . . 5 (Ind 𝑥 → ω ⊆ 𝑥)
7 sseq1 2993 . . . . 5 (𝐴 = ω → (𝐴𝑥 ↔ ω ⊆ 𝑥))
86, 7syl5ibr 149 . . . 4 (𝐴 = ω → (Ind 𝑥𝐴𝑥))
98alrimiv 1770 . . 3 (𝐴 = ω → ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥))
103, 9jca 294 . 2 (𝐴 = ω → (Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥)))
11 bj-ssom 10426 . . . . . . 7 (∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ ω)
1211biimpi 117 . . . . . 6 (∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ⊆ ω)
1312adantl 266 . . . . 5 ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥)) → 𝐴 ⊆ ω)
1413a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥)) → 𝐴 ⊆ ω))
15 bj-omssind 10425 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Ind 𝐴 → ω ⊆ 𝐴))
1615adantrd 268 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥)) → ω ⊆ 𝐴))
1714, 16jcad 295 . . 3 (𝐴𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥)) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ω ⊆ 𝐴)))
18 eqss 2987 . . 3 (𝐴 = ω ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ω ⊆ 𝐴))
1917, 18syl6ibr 155 . 2 (𝐴𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥)) → 𝐴 = ω))
2010, 19impbid2 135 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ω ↔ (Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥𝐴𝑥))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wal 1257   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  wss 2944  ωcom 4340  Ind wind 10416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-nul 3910  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-bd0 10299  ax-bdor 10302  ax-bdex 10305  ax-bdeq 10306  ax-bdel 10307  ax-bdsb 10308  ax-bdsep 10370
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-sn 3408  df-pr 3409  df-uni 3608  df-int 3643  df-suc 4135  df-iom 4341  df-bdc 10327  df-bj-ind 10417
This theorem is referenced by:  bj-2inf  10428  bj-inf2vn  10465  bj-inf2vn2  10466
  Copyright terms: Public domain W3C validator