Theorem bj-omtrans2 13144

Description: The set ω is transitive. (Contributed by BJ, 29-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omtrans2	⊢ Tr ω

Proof of Theorem bj-omtrans2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 4025	. 2 ⊢ (Tr ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω 𝑥 ⊆ ω)
2		bj-omtrans 13143	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
3	1, 2	mprgbir 2488	1 ⊢ Tr ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3066  Tr wtr 4021  ωcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-bd0 13000  ax-bdor 13003  ax-bdal 13005  ax-bdex 13006  ax-bdeq 13007  ax-bdel 13008  ax-bdsb 13009  ax-bdsep 13071  ax-infvn 13128

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-suc 4288  df-iom 4500  df-bdc 13028  df-bj-ind 13114

This theorem is referenced by:  bj-omord  13147