Theorem brdomg 6642

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6639	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 4582	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
4		f1f 5328	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
5		fdm 5278	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
6		vex 2689	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	dmex 4805	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
8	5, 7	eqeltrrdi 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	9	exlimiv 1577	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V))
12		f1eq2 5324	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
13	12	exbidv 1797	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
14		f1eq3 5325	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
15	14	exbidv 1797	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
16		df-dom 6636	. . . 4 ⊢ ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦}
17	13, 15, 16	brabg 4191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
18	17	expcom 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 694	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ⟶wf 5119  –1-1→wf1 5120   ≼ cdom 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-dom 6636

This theorem is referenced by:  brdomi  6643  brdom  6644  f1dom2g  6650  f1domg  6652  dom3d  6668  phplem4dom  6756  djudom  6978  difinfsn  6985  djudoml  7075  djudomr  7076