Theorem breq12 3929

Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
breq12	⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3927	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2		breq2 3928	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐵𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
3	1, 2	sylan9bb 457	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   class class class wbr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925

This theorem is referenced by:  breq12i  3933  breq12d  3937  breqan12d  3940  posng  4606  isopolem  5716  poxp  6122  rbropapd  6132  ecopover  6520  ecopoverg  6523  ltdcnq  7198  recexpr  7439  ltresr  7640  reapval  8331  ltxr  9555  xrltnr  9559  xrltnsym  9572  xrlttr  9574  xrltso  9575  xrlttri3  9576  xposdif  9658  exmidsbthrlem  13206