Theorem breq12d 3937

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 3929	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   class class class wbr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925

This theorem is referenced by:  breq123d  3938  3brtr3d  3954  3brtr4d  3955  pocl  4220  csbcnvg  4718  cnvpom  5076  sbcfung  5142  isoeq1  5695  isocnv  5705  isotr  5710  caovordig  5929  caovordg  5931  caovord2d  5933  caovord  5935  ofrfval  5983  ofrval  5985  ofrfval2  5991  caofref  5996  fundmeng  6694  xpsneng  6709  xpcomeng  6715  xpdom2g  6719  phplem3g  6743  php5  6745  php5dom  6750  nqtri3or  7197  ltsonq  7199  ltanqg  7201  ltmnqg  7202  lt2addnq  7205  lt2mulnq  7206  prarloclemarch  7219  ltrnqg  7221  ltnnnq  7224  prarloclemlt  7294  addlocprlemgt  7335  mullocprlem  7371  addextpr  7422  recexprlemss1l  7436  recexprlemss1u  7437  recexpr  7439  caucvgprlemcanl  7445  cauappcvgprlemm  7446  cauappcvgprlemdisj  7452  cauappcvgprlemloc  7453  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  cauappcvgprlem1  7460  cauappcvgprlemlim  7462  cauappcvgpr  7463  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprlemdisj  7475  caucvgprlemloc  7476  caucvgprlemcl  7477  caucvgprlemladdrl  7479  caucvgprlem1  7480  caucvgpr  7483  caucvgprprlemell  7486  caucvgprprlemcbv  7488  caucvgprprlemval  7489  caucvgprprlemnkeqj  7491  caucvgprprlemopl  7498  caucvgprprlemlol  7499  caucvgprprlemloc  7504  caucvgprprlemclphr  7506  caucvgprprlemexb  7508  caucvgprprlem1  7510  lttrsr  7563  ltposr  7564  ltsosr  7565  ltasrg  7571  aptisr  7580  mulextsr1lem  7581  mulextsr1  7582  caucvgsrlemcau  7594  caucvgsrlemgt1  7596  caucvgsrlemoffcau  7599  caucvgsrlemoffres  7601  caucvgsr  7603  axpre-ltirr  7683  axpre-ltadd  7687  axpre-mulgt0  7688  axpre-mulext  7689  axcaucvglemcau  7699  axcaucvglemres  7700  ltadd2  8174  ltadd1  8184  leadd2  8186  reapval  8331  reapmul1  8350  remulext2  8355  apreim  8358  apirr  8360  apsym  8361  apcotr  8362  apadd1  8363  apadd2  8364  apneg  8366  mulext1  8367  mulext2  8368  apti  8377  apsub1  8397  subap0  8398  apmul1  8541  apmul2  8542  apdivmuld  8566  ltmul2  8607  lemul2  8608  ltdiv1  8619  ltdiv2  8638  ledivdiv  8641  lediv2  8642  negiso  8706  div4p1lem1div2  8966  qapne  9424  nn0ledivnn  9547  xleadd1  9651  xltadd1  9652  xltadd2  9653  xsubge0  9657  xleaddadd  9663  qtri3or  10013  frecfzennn  10192  monoord  10242  monoord2  10243  leexp1a  10341  bernneq  10405  nn0le2msqd  10458  faclbnd  10480  faclbnd3  10482  faclbnd6  10483  facubnd  10484  fihashdom  10542  zfz1isolemiso  10575  cjap  10671  cvg1nlemcau  10749  cvg1nlemres  10750  resqrexlemlo  10778  resqrexlemcalc3  10781  absext  10828  xrnegiso  11024  xrminltinf  11034  fsumabs  11227  cvgratnnlemnexp  11286  cvgratnnlemmn  11287  addmodlteqALT  11546  nn0seqcvgd  11711  algcvg  11718  algcvga  11721  eucalgcvga  11728  qnumgt0  11865  ctinfomlemom  11929  ispsmet  12481  psmettri2  12486  ismet  12502  isxmet  12503  xmettri2  12519  blvalps  12546  blval  12547  comet  12657  bdxmet  12659  dvef  12845