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Theorem cau3lem 9933
 Description: Lemma for cau3 9934. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2 (𝜏𝜓)
cau3lem.3 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
cau3lem.4 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
cau3lem.5 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
cau3lem.6 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
cau3lem.7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cau3lem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
21anbi2d 445 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
32rexralbidv 2367 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
43cbvralv 2550 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
5 rphalfcl 8707 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 3795 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76anbi2d 445 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
87rexralbidv 2367 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
98rspcv 2669 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
105, 9syl 14 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
1110adantl 266 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜏𝜓)
1312ralimi 2401 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
14 r19.26 2458 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → (𝜓𝜃))
1815oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)))
1918fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))))
2019breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2117, 20anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2221cbvralv 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2322biimpi 117 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2514, 24syl5bir 146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2625expdimp 250 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℤ
2827sseli 2968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
29 uzid 8582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
31 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜒))
3433rspcva 2671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3530, 34sylan 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3635adantll 453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3726, 36jctild 303 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
38 simplll 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
39 simplrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
40 simplrl 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4342breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)))
4443anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2))))
45 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
46 simpllr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rpred 8719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5044, 49sylbid 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5150expd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5251impr 365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5352an32s 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5453anassrs 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5554expimpd 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5655ralimdv 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5756impr 365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5857an32s 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5958expr 361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
60 uzss 8588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
61 ssralv 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6260, 61syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6359, 62sylan9 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6463an32s 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6564expimpd 349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6665ralimdva 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6766ex 112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6867com23 76 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6968adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7014, 69syl5bir 146 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7170expdimp 250 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7237, 71mpdd 40 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7313, 72sylan2 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7473imdistanda 430 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
75 r19.26 2458 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76 r19.26 2458 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7774, 75, 763imtr4g 198 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7877reximdva 2438 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7911, 78syld 44 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
8079ralrimdva 2416 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
814, 80syl5bi 145 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
82 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
8331oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
8483fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
8584breq1d 3801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8682, 85raleqbidv 2534 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8786rspcv 2669 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8887ad2antlr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
89 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
9089oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)))
9190fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))))
9291breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥))
9392cbvralv 2550 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥)
9434anim2i 328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)) → (𝜑𝜒))
9594anassrs 386 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (𝜑𝜒))
96 simpr 107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
9897breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜒𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
99983expia 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10099ralimdv 2405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10195, 96, 100sylc 60 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
102 ralbi 2462 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
103101, 102syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10493, 103syl5bb 185 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10588, 104sylibd 142 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10613, 105sylan2 274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
107106imdistanda 430 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10830, 107sylan2 274 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
109 r19.26 2458 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
110108, 76, 1093imtr4g 198 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
111110reximdva 2438 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
112111ralimdv 2405 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
11381, 112impbid 124 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ∃wrex 2324   ⊆ wss 2944   class class class wbr 3791  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539  ℝcr 6945   < clt 7118   / cdiv 7724  2c2 8039  ℤcz 8301  ℤ≥cuz 8568  ℝ+crp 8680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-2 8048  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681 This theorem is referenced by:  cau3  9934
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