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Theorem cauappcvgprlemloc 6807
Description: Lemma for cauappcvgpr 6817. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6564 . . . . 5 (𝑠 <Q 𝑟 → ∃𝑦Q (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
21adantl 266 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑦Q (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
3 subhalfnqq 6569 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
43ad2antrl 467 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → ∃𝑥Q (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
5 simprr 492 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
6 simplrl 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑠Q)
76adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑠Q)
87adantr 265 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑠Q)
9 ltanqi 6557 . . . . . . . . 9 (((𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦𝑠Q) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q (𝑠 +Q 𝑦))
105, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q (𝑠 +Q 𝑦))
11 simplrr 496 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
1210, 11breqtrd 3815 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟)
13 simprl 491 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑥Q)
14 addclnq 6530 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q𝑥Q) → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q)
1513, 13, 14syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q)
16 addclnq 6530 . . . . . . . . 9 ((𝑠Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q)
178, 15, 16syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q)
18 simplrr 496 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑟Q)
1918adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑟Q)
2019adantr 265 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑟Q)
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:QQ)
2221ad4antr 471 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝐹:QQ)
2322, 13ffvelrnd 5330 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ Q)
24 addclnq 6530 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ Q𝑥Q) → ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)
2523, 13, 24syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)
26 ltsonq 6553 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
27 sowlin 4084 . . . . . . . . 9 (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q𝑟Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
2826, 27mpan 408 . . . . . . . 8 (((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q𝑟Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
2917, 20, 25, 28syl3anc 1146 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟))
318adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑠Q)
32 simplrl 495 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑥Q)
33 simpr 107 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
34 addassnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠Q𝑥Q𝑥Q) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) = (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)))
3531, 32, 32, 34syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) = (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)))
3635breq1d 3801 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ↔ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)))
3733, 36mpbird 160 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
38 ltanqg 6555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
3938adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
40 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠Q𝑥Q) → (𝑠 +Q 𝑥) ∈ Q)
4131, 32, 40syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q 𝑥) ∈ Q)
4223adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ Q)
43 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
4443adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5697 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥) ↔ ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)))
4637, 45mpbird 160 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥))
47 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑥))
48 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑥))
4947, 48breq12d 3804 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥)))
5049rspcev 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
5132, 46, 50syl2anc 397 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
52 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
5352breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
5453rexbidv 2344 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
5655fveq2i 5208 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
57 nqex 6518 . . . . . . . . . . . . 13 Q ∈ V
5857rabex 3928 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
5957rabex 3928 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
6058, 59op1st 5800 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6156, 60eqtri 2076 . . . . . . . . . 10 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6254, 61elrab2 2722 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
6331, 51, 62sylanbrc 402 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
6463ex 112 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) → 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
6520adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → 𝑟Q)
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑥𝑞 = 𝑥)
6748, 66oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
6867breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟))
6968rspcev 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
7013, 69sylan 271 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
71 breq2 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7271rexbidv 2344 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7355fveq2i 5208 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
7458, 59op2nd 5801 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
7573, 74eqtri 2076 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
7672, 75elrab2 2722 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7765, 70, 76sylanbrc 402 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
7877ex 112 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
7964, 78orim12d 710 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
8030, 79mpd 13 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
814, 80rexlimddv 2454 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
822, 81rexlimddv 2454 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
8382ex 112 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) → (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
8483ralrimivva 2418 1 (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  cop 3405   class class class wbr 3791   Or wor 4059  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  6808
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