Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemloc GIF version

Theorem cauappcvgprlemloc 6807
 Description: Lemma for cauappcvgpr 6817. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6564 . . . . 5 (𝑠 <Q 𝑟 → ∃𝑦Q (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
21adantl 266 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑦Q (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
3 subhalfnqq 6569 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
43ad2antrl 467 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → ∃𝑥Q (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
5 simprr 492 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
6 simplrl 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑠Q)
76adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑠Q)
87adantr 265 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑠Q)
9 ltanqi 6557 . . . . . . . . 9 (((𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦𝑠Q) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q (𝑠 +Q 𝑦))
105, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q (𝑠 +Q 𝑦))
11 simplrr 496 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
1210, 11breqtrd 3815 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟)
13 simprl 491 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑥Q)
14 addclnq 6530 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q𝑥Q) → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q)
1513, 13, 14syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q)
16 addclnq 6530 . . . . . . . . 9 ((𝑠Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q)
178, 15, 16syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q)
18 simplrr 496 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑟Q)
1918adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑟Q)
2019adantr 265 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑟Q)
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:QQ)
2221ad4antr 471 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝐹:QQ)
2322, 13ffvelrnd 5330 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ Q)
24 addclnq 6530 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ Q𝑥Q) → ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)
2523, 13, 24syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)
26 ltsonq 6553 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
27 sowlin 4084 . . . . . . . . 9 (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q𝑟Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
2826, 27mpan 408 . . . . . . . 8 (((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q𝑟Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
2917, 20, 25, 28syl3anc 1146 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟))
318adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑠Q)
32 simplrl 495 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑥Q)
33 simpr 107 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
34 addassnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠Q𝑥Q𝑥Q) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) = (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)))
3531, 32, 32, 34syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) = (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)))
3635breq1d 3801 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ↔ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)))
3733, 36mpbird 160 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
38 ltanqg 6555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
3938adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
40 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠Q𝑥Q) → (𝑠 +Q 𝑥) ∈ Q)
4131, 32, 40syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q 𝑥) ∈ Q)
4223adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ Q)
43 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
4443adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5697 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥) ↔ ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)))
4637, 45mpbird 160 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥))
47 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑥))
48 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑥))
4947, 48breq12d 3804 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥)))
5049rspcev 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
5132, 46, 50syl2anc 397 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
52 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
5352breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
5453rexbidv 2344 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
5655fveq2i 5208 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
57 nqex 6518 . . . . . . . . . . . . 13 Q ∈ V
5857rabex 3928 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
5957rabex 3928 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
6058, 59op1st 5800 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6156, 60eqtri 2076 . . . . . . . . . 10 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6254, 61elrab2 2722 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
6331, 51, 62sylanbrc 402 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
6463ex 112 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) → 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
6520adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → 𝑟Q)
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑥𝑞 = 𝑥)
6748, 66oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
6867breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟))
6968rspcev 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
7013, 69sylan 271 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
71 breq2 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7271rexbidv 2344 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7355fveq2i 5208 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
7458, 59op2nd 5801 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
7573, 74eqtri 2076 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
7672, 75elrab2 2722 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7765, 70, 76sylanbrc 402 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
7877ex 112 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
7964, 78orim12d 710 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
8030, 79mpd 13 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
814, 80rexlimddv 2454 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
822, 81rexlimddv 2454 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
8382ex 112 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) → (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
8483ralrimivva 2418 1 (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∨ wo 639   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ∃wrex 2324  {crab 2327  ⟨cop 3405   class class class wbr 3791   Or wor 4059  ⟶wf 4925  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435   +Q cplq 6437
 Copyright terms: Public domain W3C validator