ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemm GIF version

Theorem cauappcvgprlemm 6800
Description: Lemma for cauappcvgpr 6817. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemm (𝜑 → (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm
StepHypRef Expression
1 1nq 6521 . . . . . 6 1QQ
2 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
3 fveq2 5205 . . . . . . . 8 (𝑝 = 1Q → (𝐹𝑝) = (𝐹‘1Q))
43breq2d 3803 . . . . . . 7 (𝑝 = 1Q → (𝐴 <Q (𝐹𝑝) ↔ 𝐴 <Q (𝐹‘1Q)))
54rspcv 2669 . . . . . 6 (1QQ → (∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝) → 𝐴 <Q (𝐹‘1Q)))
61, 2, 5mpsyl 63 . . . . 5 (𝜑𝐴 <Q (𝐹‘1Q))
7 ltrelnq 6520 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
87brel 4419 . . . . . 6 (𝐴 <Q (𝐹‘1Q) → (𝐴Q ∧ (𝐹‘1Q) ∈ Q))
98simpld 109 . . . . 5 (𝐴 <Q (𝐹‘1Q) → 𝐴Q)
106, 9syl 14 . . . 4 (𝜑𝐴Q)
11 halfnqq 6565 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑠Q (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴)
1210, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠Q (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴)
13 simplr 490 . . . . . 6 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → 𝑠Q)
142ad2antrr 465 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
15 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑠 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑠))
1615breq2d 3803 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑠 → (𝐴 <Q (𝐹𝑝) ↔ 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
1716rspcv 2669 . . . . . . . . . 10 (𝑠Q → (∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝) → 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
1817ad2antlr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → (∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝) → 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
1914, 18mpd 13 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → 𝐴 <Q (𝐹𝑠))
20 breq1 3794 . . . . . . . . 9 ((𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴 → ((𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠) ↔ 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
2120adantl 266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → ((𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠) ↔ 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
2219, 21mpbird 160 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → (𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠))
23 oveq2 5547 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑠 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑠))
24 fveq2 5205 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑠 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑠))
2523, 24breq12d 3804 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑠 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠)))
2625rspcev 2673 . . . . . . 7 ((𝑠Q ∧ (𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
2713, 22, 26syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
28 oveq1 5546 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
2928breq1d 3801 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3029rexbidv 2344 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
31 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . 9 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
3231fveq2i 5208 . . . . . . . 8 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
33 nqex 6518 . . . . . . . . . 10 Q ∈ V
3433rabex 3928 . . . . . . . . 9 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
3533rabex 3928 . . . . . . . . 9 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
3634, 35op1st 5800 . . . . . . . 8 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
3732, 36eqtri 2076 . . . . . . 7 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
3830, 37elrab2 2722 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3913, 27, 38sylanbrc 402 . . . . 5 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
4039ex 112 . . . 4 ((𝜑𝑠Q) → ((𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴𝑠 ∈ (1st𝐿)))
4140reximdva 2438 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠Q (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴 → ∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
4212, 41mpd 13 . 2 (𝜑 → ∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿))
43 cauappcvgpr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:QQ)
441a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1QQ)
4543, 44ffvelrnd 5330 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1Q) ∈ Q)
46 addclnq 6530 . . . . 5 (((𝐹‘1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
4745, 44, 46syl2anc 397 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
48 addclnq 6530 . . . 4 ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
4947, 44, 48syl2anc 397 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
50 ltaddnq 6562 . . . . . 6 ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
5147, 44, 50syl2anc 397 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
52 fveq2 5205 . . . . . . . 8 (𝑞 = 1Q → (𝐹𝑞) = (𝐹‘1Q))
53 id 19 . . . . . . . 8 (𝑞 = 1Q𝑞 = 1Q)
5452, 53oveq12d 5557 . . . . . . 7 (𝑞 = 1Q → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹‘1Q) +Q 1Q))
5554breq1d 3801 . . . . . 6 (𝑞 = 1Q → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ↔ ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
5655rspcev 2673 . . . . 5 ((1QQ ∧ ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
5744, 51, 56syl2anc 397 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
58 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑢 = (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
5958rexbidv 2344 . . . . 5 (𝑢 = (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
6031fveq2i 5208 . . . . . 6 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
6134, 35op2nd 5801 . . . . . 6 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
6260, 61eqtri 2076 . . . . 5 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
6359, 62elrab2 2722 . . . 4 ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿) ↔ ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
6449, 57, 63sylanbrc 402 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿))
65 eleq1 2116 . . . 4 (𝑟 = (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿)))
6665rspcev 2673 . . 3 (((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
6749, 64, 66syl2anc 397 . 2 (𝜑 → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
6842, 67jca 294 1 (𝜑 → (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  cop 3405   class class class wbr 3791  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435  1Qc1q 6436   +Q cplq 6437   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  6808
  Copyright terms: Public domain W3C validator