ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemopl GIF version

Theorem cauappcvgprlemopl 6801
Description: Lemma for cauappcvgpr 6817. The lower cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemopl ((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopl
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5546 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
21breq1d 3801 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
32rexbidv 2344 . . . . 5 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
4 cauappcvgpr.lim . . . . . . 7 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
54fveq2i 5208 . . . . . 6 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
6 nqex 6518 . . . . . . . 8 Q ∈ V
76rabex 3928 . . . . . . 7 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
86rabex 3928 . . . . . . 7 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
97, 8op1st 5800 . . . . . 6 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
105, 9eqtri 2076 . . . . 5 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
113, 10elrab2 2722 . . . 4 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1211simprbi 264 . . 3 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
1312adantl 266 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
14 simprr 492 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
15 ltbtwnnqq 6570 . . . 4 ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑡Q ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))
1614, 15sylib 131 . . 3 (((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) → ∃𝑡Q ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))
17 simplrl 495 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑞Q)
1811simplbi 263 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → 𝑠Q)
1918ad3antlr 470 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑠Q)
20 ltaddnq 6562 . . . . . . . 8 ((𝑞Q𝑠Q) → 𝑞 <Q (𝑞 +Q 𝑠))
2117, 19, 20syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑞 <Q (𝑞 +Q 𝑠))
22 addcomnqg 6536 . . . . . . . 8 ((𝑞Q𝑠Q) → (𝑞 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑞))
2317, 19, 22syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → (𝑞 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑞))
2421, 23breqtrd 3815 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑞 <Q (𝑠 +Q 𝑞))
25 simprrl 499 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡)
26 ltsonq 6553 . . . . . . 7 <Q Or Q
27 ltrelnq 6520 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
2826, 27sotri 4747 . . . . . 6 ((𝑞 <Q (𝑠 +Q 𝑞) ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡) → 𝑞 <Q 𝑡)
2924, 25, 28syl2anc 397 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑞 <Q 𝑡)
30 simprl 491 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑡Q)
31 ltexnqq 6563 . . . . . 6 ((𝑞Q𝑡Q) → (𝑞 <Q 𝑡 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡))
3217, 30, 31syl2anc 397 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → (𝑞 <Q 𝑡 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡))
3329, 32mpbid 139 . . . 4 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → ∃𝑟Q (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡)
3425ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡)
3519ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → 𝑠Q)
3617ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → 𝑞Q)
37 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠Q𝑞Q) → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑠))
3835, 36, 37syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑠))
3938breq1d 3801 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡 ↔ (𝑞 +Q 𝑠) <Q 𝑡))
4034, 39mpbid 139 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑞 +Q 𝑠) <Q 𝑡)
41 simpr 107 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡)
4240, 41breqtrrd 3817 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑞 +Q 𝑠) <Q (𝑞 +Q 𝑟))
43 simplr 490 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → 𝑟Q)
44 ltanqg 6555 . . . . . . . . 9 ((𝑠Q𝑟Q𝑞Q) → (𝑠 <Q 𝑟 ↔ (𝑞 +Q 𝑠) <Q (𝑞 +Q 𝑟)))
4535, 43, 36, 44syl3anc 1146 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑠 <Q 𝑟 ↔ (𝑞 +Q 𝑠) <Q (𝑞 +Q 𝑟)))
4642, 45mpbird 160 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → 𝑠 <Q 𝑟)
47 simprrr 500 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → 𝑡 <Q (𝐹𝑞))
4847ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → 𝑡 <Q (𝐹𝑞))
49 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞Q𝑟Q) → (𝑞 +Q 𝑟) = (𝑟 +Q 𝑞))
5036, 43, 49syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑞 +Q 𝑟) = (𝑟 +Q 𝑞))
5150, 41eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑟 +Q 𝑞) = 𝑡)
5251breq1d 3801 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ 𝑡 <Q (𝐹𝑞)))
5348, 52mpbird 160 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
54 rspe 2387 . . . . . . . . 9 ((𝑞Q ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
5536, 53, 54syl2anc 397 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
56 oveq1 5546 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
5756breq1d 3801 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
5857rexbidv 2344 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
5958, 10elrab2 2722 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
6043, 55, 59sylanbrc 402 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → 𝑟 ∈ (1st𝐿))
6146, 60jca 294 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) ∧ (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡) → (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)))
6261ex 112 . . . . 5 (((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) ∧ 𝑟Q) → ((𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡 → (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))))
6362reximdva 2438 . . . 4 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → (∃𝑟Q (𝑞 +Q 𝑟) = 𝑡 → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))))
6433, 63mpd 13 . . 3 ((((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) ∧ (𝑡Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑞) <Q 𝑡𝑡 <Q (𝐹𝑞)))) → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)))
6516, 64rexlimddv 2454 . 2 (((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))) → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)))
6613, 65rexlimddv 2454 1 ((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  cop 3405   class class class wbr 3791  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  6805
  Copyright terms: Public domain W3C validator