ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemopu GIF version

Theorem cauappcvgprlemopu 6952
Description: Lemma for cauappcvgpr 6966. The upper cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemopu ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopu
StepHypRef Expression
1 breq2 3809 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
21rexbidv 2374 . . . . 5 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
3 cauappcvgpr.lim . . . . . . 7 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
43fveq2i 5232 . . . . . 6 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
5 nqex 6667 . . . . . . . 8 Q ∈ V
65rabex 3942 . . . . . . 7 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
75rabex 3942 . . . . . . 7 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
86, 7op2nd 5825 . . . . . 6 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
94, 8eqtri 2103 . . . . 5 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
102, 9elrab2 2760 . . . 4 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
1110simprbi 269 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
1211adantl 271 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
13 simprr 499 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
14 ltbtwnnqq 6719 . . . 4 (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ∃𝑠Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟))
1513, 14sylib 120 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟))
16 simprr 499 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 <Q 𝑟)
17 simplr 497 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠Q)
18 simplrl 502 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) → 𝑞Q)
1918adantr 270 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑞Q)
20 simprl 498 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
21 rspe 2417 . . . . . . . 8 ((𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
2219, 20, 21syl2anc 403 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
23 breq2 3809 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2423rexbidv 2374 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2524, 9elrab2 2760 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2617, 22, 25sylanbrc 408 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ (2nd𝐿))
2716, 26jca 300 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
2827ex 113 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
2928reximdva 2468 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → (∃𝑠Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
3015, 29mpd 13 . 2 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
3112, 30rexlimddv 2486 1 ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357  cop 3419   class class class wbr 3805  wf 4948  cfv 4952  (class class class)co 5563  2nd c2nd 5817  Qcnq 6584   +Q cplq 6586   <Q cltq 6589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-pli 6609  df-mi 6610  df-lti 6611  df-plpq 6648  df-mpq 6649  df-enq 6651  df-nqqs 6652  df-plqqs 6653  df-mqqs 6654  df-1nqqs 6655  df-rq 6656  df-ltnqqs 6657
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  6954
  Copyright terms: Public domain W3C validator