Theorem cauappcvgprlemopu 7449

Description: Lemma for cauappcvgpr 7463. The upper cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemopu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2436	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
3		cauappcvgpr.lim	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
4	3	fveq2i 5417	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
5		nqex 7164	. . . . . . . 8 ⊢ Q ∈ V
6	5	rabex 4067	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
7	5	rabex 4067	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
8	6, 7	op2nd 6038	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
9	4, 8	eqtri 2158	. . . . 5 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
10	2, 9	elrab2 2838	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
11	10	simprbi 273	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
12	11	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
13		simprr 521	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
14		ltbtwnnqq 7216	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
15	13, 14	sylib 121	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
16		simprr 521	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 <Q 𝑟)
17		simplr 519	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ Q)
18		simplrl 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑞 ∈ Q)
20		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
21		rspe 2479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
23		breq2 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
24	23	rexbidv 2436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
25	24, 9	elrab2 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
26	17, 22, 25	sylanbrc 413	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))
27	16, 26	jca 304	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
28	27	ex 114	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
29	28	reximdva 2532	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → (∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
30	15, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
31	12, 30	rexlimddv 2552	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415  {crab 2418  ⟨cop 3525   class class class wbr 3924  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  2^nd c2nd 6030  Qcnq 7081   +_Q cplq 7083   <_Q cltq 7086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7451