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Theorem caubnd2 9936
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caubnd2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 8684 . . 3 1 ∈ ℝ+
2 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
32anbi2d 445 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
43rexralbidv 2367 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
54rspcv 2669 . . 3 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
61, 5ax-mp 7 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
7 eluzelz 8577 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8eleq2s 2148 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
10 uzid 8582 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
119, 10syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
12 simpl 106 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312ralimi 2401 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
14 fveq2 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1615rspcva 2671 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1711, 13, 16syl2an 277 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
18 abscl 9870 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 14 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
20 1re 7083 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21 readdcl 7064 . . . . . . 7 (((abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 398 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23 simpr 107 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
24 simplr 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
25 abs2dif 9925 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
2623, 24, 25syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
27 abscl 9870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2823, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2924, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
3028, 29resubcld 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3123, 24subcld 7384 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
32 abscl 9870 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
34 lelttr 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3520, 34mp3an3 1232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3630, 33, 35syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3726, 36mpand 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
38 ltsubadd2 7501 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
3920, 38mp3an3 1232 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4028, 29, 39syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4137, 40sylibd 142 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4241expimpd 349 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4342ralimdv 2405 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4443impancom 251 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4517, 44mpd 13 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1))
46 breq2 3795 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4746ralbidv 2343 . . . . . . 7 (𝑦 = ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4847rspcev 2673 . . . . . 6 ((((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
4922, 45, 48syl2anc 397 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
5049ex 112 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦))
5150reximia 2431 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
52 rexcom 2491 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
5351, 52sylib 131 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
546, 53syl 14 1 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cle 7119  cmin 7244  cz 8301  cuz 8568  +crp 8680  abscabs 9816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060  ax-caucvg 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414  df-cj 9663  df-re 9664  df-im 9665  df-rsqrt 9817  df-abs 9818
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