ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgrelemcau GIF version

Theorem caucvgrelemcau 9806
Description: Lemma for caucvgre 9807. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 490 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
21nnred 8002 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 simpr 107 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nnred 8002 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5 ltle 7163 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
62, 4, 5syl2anc 397 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
7 eluznn 8633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87ex 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9 nnz 8320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10 eluz1 8572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
12 simpr 107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑛𝑘)
1311, 12syl6bi 156 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘))
148, 13jcad 295 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
15 nnz 8320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1615anim1i 327 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘))
1716, 11syl5ibr 149 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)))
1814, 17impbid 124 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
1918adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
2019biimpar 285 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2221r19.21bi 2424 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2322r19.21bi 2424 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2420, 23syldan 270 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2524expr 361 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
266, 25syld 44 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27 ltxrlt 7143 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
282, 4, 27syl2anc 397 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3029ad2antrr 465 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3130, 1ffvelrnd 5330 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3230, 3ffvelrnd 5330 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
331nnrecred 8035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 7113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35 ltxrlt 7143 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
3631, 34, 35syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
37 nnap0 8018 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39 caucvgrelemrec 9805 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
402, 38, 39syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
4140oveq2d 5555 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)))
4241breq2d 3803 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
4336, 42bitr4d 184 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
4431, 33readdcld 7113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45 ltxrlt 7143 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4632, 44, 45syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4740oveq2d 5555 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))
4847breq2d 3803 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4946, 48bitr4d 184 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
5043, 49anbi12d 450 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5126, 28, 503imtr3d 195 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5251ralrimiva 2409 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5352ralrimiva 2409 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323   class class class wbr 3791  wf 4925  cfv 4929  crio 5494  (class class class)co 5539  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   < cltrr 6950   · cmul 6951   < clt 7118  cle 7119   # cap 7645   / cdiv 7724  cn 7989  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by:  caucvgre  9807
  Copyright terms: Public domain W3C validator