ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgrelemcau GIF version

Theorem caucvgrelemcau 10720
Description: Lemma for caucvgre 10721. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 504 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
21nnred 8701 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nnred 8701 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5 ltle 7819 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
62, 4, 5syl2anc 408 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
7 eluznn 9362 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9 nnz 9041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10 eluz1 9298 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
12 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑛𝑘)
1311, 12syl6bi 162 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘))
148, 13jcad 305 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
15 nnz 9041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1615anim1i 338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘))
1716, 11syl5ibr 155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)))
1814, 17impbid 128 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
1918adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
2019biimpar 295 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2221r19.21bi 2497 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2322r19.21bi 2497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2420, 23syldan 280 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2524expr 372 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
266, 25syld 45 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27 ltxrlt 7798 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
282, 4, 27syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3029ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3130, 1ffvelrnd 5524 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3230, 3ffvelrnd 5524 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
331nnrecred 8735 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 7763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35 ltxrlt 7798 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
3631, 34, 35syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
37 nnap0 8717 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39 caucvgrelemrec 10719 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
402, 38, 39syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
4140oveq2d 5758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)))
4241breq2d 3911 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
4336, 42bitr4d 190 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
4431, 33readdcld 7763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45 ltxrlt 7798 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4632, 44, 45syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4740oveq2d 5758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))
4847breq2d 3911 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4946, 48bitr4d 190 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
5043, 49anbi12d 464 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5126, 28, 503imtr3d 201 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5251ralrimiva 2482 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5352ralrimiva 2482 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393   class class class wbr 3899  wf 5089  cfv 5093  crio 5697  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < cltrr 7592   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769   # cap 8311   / cdiv 8400  cn 8688  cz 9022  cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  caucvgre  10721
  Copyright terms: Public domain W3C validator