ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemasr GIF version

Theorem caucvgsrlemasr 6902
Description: Lemma for caucvgsr 6914. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgsrlemasr.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemasr (𝜑𝐴R)
Distinct variable group:   𝐴,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemasr.bnd . . 3 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
2 ltrelsr 6851 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
32brel 4417 . . . . 5 (𝐴 <R (𝐹𝑚) → (𝐴R ∧ (𝐹𝑚) ∈ R))
43simpld 109 . . . 4 (𝐴 <R (𝐹𝑚) → 𝐴R)
54ralimi 2399 . . 3 (∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚) → ∀𝑚N 𝐴R)
61, 5syl 14 . 2 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴R)
7 1pi 6441 . . 3 1𝑜N
8 elex2 2585 . . 3 (1𝑜N → ∃𝑥 𝑥N)
9 r19.3rmv 3337 . . 3 (∃𝑥 𝑥N → (𝐴R ↔ ∀𝑚N 𝐴R))
107, 8, 9mp2b 8 . 2 (𝐴R ↔ ∀𝑚N 𝐴R)
116, 10sylibr 141 1 (𝜑𝐴R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102  wex 1395  wcel 1407  wral 2321   class class class wbr 3789  cfv 4927  1𝑜c1o 6022  Ncnpi 6398  Rcnr 6423   <R cltr 6429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-br 3790  df-opab 3844  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-1o 6029  df-ni 6430  df-ltr 6843
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  6908  caucvgsrlemofff  6909  caucvgsrlemoffcau  6910  caucvgsrlemoffgt1  6911  caucvgsrlemoffres  6912
  Copyright terms: Public domain W3C validator