ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffres GIF version

Theorem caucvgsrlemoffres 7038
Description: Lemma for caucvgsr 7040. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffres (𝜑 → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑘   𝑥,𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑚,𝑘   𝑦,𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝐹,𝑎,𝑘   𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑗,𝑘   𝐺,𝑙,𝑢,𝑗,𝑘   𝑚,𝐺,𝑛,𝑘   𝑛,𝑙,𝑢   𝑛,𝑎,𝜑,𝑘   𝜑,𝑥,𝑗   𝜑,𝑚,𝑛,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑗,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres
Dummy variables 𝑖 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . 4 (𝜑𝐹:NR)
2 caucvgsr.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
3 caucvgsrlembnd.bnd . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
4 caucvgsrlembnd.offset . . . 4 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
51, 2, 3, 4caucvgsrlemofff 7035 . . 3 (𝜑𝐺:NR)
61, 2, 3, 4caucvgsrlemoffcau 7036 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺𝑛) <R ((𝐺𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺𝑘) <R ((𝐺𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
71, 2, 3, 4caucvgsrlemoffgt1 7037 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
85, 6, 7caucvgsrlemgt1 7033 . 2 (𝜑 → ∃𝑧R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))
9 simprl 498 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → 𝑧R)
103caucvgsrlemasr 7028 . . . . . 6 (𝜑𝐴R)
1110adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → 𝐴R)
12 addclsr 6992 . . . . 5 ((𝑧R𝐴R) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
139, 11, 12syl2anc 403 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
14 m1r 6991 . . . 4 -1RR
15 addclsr 6992 . . . 4 (((𝑧 +R 𝐴) ∈ R ∧ -1RR) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R)
1613, 14, 15sylancl 404 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R)
17 ltasrg 7009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
1817adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
195ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝐺:NR)
20 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝑖N)
2119, 20ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝐺𝑖) ∈ R)
22 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝑧R)
23 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝑥R)
24 addclsr 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧R𝑥R) → (𝑧 +R 𝑥) ∈ R)
2522, 23, 24syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 +R 𝑥) ∈ R)
2610ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝐴R)
27 addcomsrg 6994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
2827adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
2918, 21, 25, 26, 28caovord2d 5701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ ((𝐺𝑖) +R 𝐴) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
301, 2, 3, 4caucvgsrlemoffval 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹𝑖) +R 1R))
3130adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹𝑖) +R 1R))
3231adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹𝑖) +R 1R))
3332breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝐴) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ ((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
3429, 33bitrd 186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ ((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
35 addasssrg 6995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
3635adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
3722, 23, 26, 28, 36caov32d 5712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) = ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥))
3837breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ ((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥)))
391ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → 𝐹:NR)
4039ffvelrnda 5334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝐹𝑖) ∈ R)
41 1sr 6990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1RR
42 addclsr 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ R ∧ 1RR) → ((𝐹𝑖) +R 1R) ∈ R)
4340, 41, 42sylancl 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R 1R) ∈ R)
4422, 26, 12syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
45 addclsr 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 +R 𝐴) ∈ R𝑥R) → ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ∈ R)
4644, 23, 45syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ∈ R)
4714a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → -1RR)
4818, 43, 46, 47, 28caovord2d 5701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ↔ (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R)))
4941a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 1RR)
50 addasssrg 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑖) ∈ R ∧ 1RR ∧ -1RR) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) = ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)))
5140, 49, 47, 50syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) = ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)))
52 addcomsrg 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1RR ∧ -1RR) → (1R +R -1R) = (-1R +R 1R))
5341, 14, 52mp2an 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1R +R -1R) = (-1R +R 1R)
54 m1p1sr 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1R +R 1R) = 0R
5553, 54eqtri 2102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1R +R -1R) = 0R
5655oveq2i 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)) = ((𝐹𝑖) +R 0R)
57 0idsr 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑖) ∈ R → ((𝐹𝑖) +R 0R) = (𝐹𝑖))
5840, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R 0R) = (𝐹𝑖))
5956, 58syl5eq 2126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)) = (𝐹𝑖))
6051, 59eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) = (𝐹𝑖))
6144, 23, 47, 28, 36caov32d 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥))
6260, 61breq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R) ↔ (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
6348, 62bitrd 186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
6434, 38, 633bitrd 212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
6564biimpd 142 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) → (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
66 addclsr 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑖) ∈ R𝑥R) → ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
6721, 23, 66syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
6818, 22, 67, 26, 28caovord2d 5701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴)))
6921, 23, 26, 28, 36caov32d 5712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) = (((𝐺𝑖) +R 𝐴) +R 𝑥))
7032oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝐴) +R 𝑥) = (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥))
7169, 70eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) = (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥))
7271breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥)))
7368, 72bitrd 186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥)))
74 addclsr 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑖) +R 1R) ∈ R𝑥R) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ∈ R)
7543, 23, 74syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ∈ R)
7618, 44, 75, 47, 28caovord2d 5701 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R)))
7740, 49, 23, 28, 36caov32d 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R))
7877oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R))
79 addclsr 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑖) ∈ R𝑥R) → ((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
8040, 23, 79syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
81 addasssrg 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R ∧ 1RR ∧ -1RR) → ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
8280, 49, 47, 81syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
8378, 82eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
8455oveq2i 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R)
8583, 84syl6eq 2130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R))
86 0idsr 7006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R → (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R) = ((𝐹𝑖) +R 𝑥))
8780, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R) = ((𝐹𝑖) +R 𝑥))
8885, 87eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = ((𝐹𝑖) +R 𝑥))
8988breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))
9073, 76, 893bitrd 212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))
9190biimpd 142 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))
9265, 91anim12d 328 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)) → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥))))
9392imim2d 53 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))))
9493ralimdva 2430 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → (∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → ∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))))
95 breq2 3797 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 <N 𝑖𝑗 <N 𝑘))
96 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
9796breq1d 3803 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
9896oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) +R 𝑥) = ((𝐹𝑘) +R 𝑥))
9998breq2d 3805 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))
10097, 99anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))
10195, 100imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥))) ↔ (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
102101cbvralv 2578 . . . . . . . 8 (∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥))) ↔ ∀𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))
10394, 102syl6ib 159 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → (∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → ∀𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
104103reximdv 2463 . . . . . 6 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → (∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
105104imim2d 53 . . . . 5 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → ((0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))) → (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
106105ralimdva 2430 . . . 4 ((𝜑𝑧R) → (∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))) → ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
107106impr 371 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
108 oveq1 5550 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (𝑦 +R 𝑥) = (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥))
109108breq2d 3805 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
110 breq1 3796 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))
111109, 110anbi12d 457 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))
112111imbi2d 228 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))) ↔ (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
113112rexralbidv 2393 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))) ↔ ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
114113imbi2d 228 . . . . 5 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))) ↔ (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
115114ralbidv 2369 . . . 4 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
116115rspcev 2702 . . 3 ((((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))) → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
11716, 107, 116syl2anc 403 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
1188, 117rexlimddv 2482 1 (𝜑 → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  {cab 2068  wral 2349  wrex 2350  cop 3409   class class class wbr 3793  cmpt 3847  wf 4928  cfv 4932  (class class class)co 5543  1𝑜c1o 6058  [cec 6170  Ncnpi 6524   <N clti 6527   ~Q ceq 6531  *Qcrq 6536   <Q cltq 6537  1Pc1p 6544   +P cpp 6545   ~R cer 6548  Rcnr 6549  0Rc0r 6550  1Rc1r 6551  -1Rcm1r 6552   +R cplr 6553   ·R cmr 6554   <R cltr 6555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-imp 6721  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-mr 6968  df-ltr 6969  df-0r 6970  df-1r 6971  df-m1r 6972
This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7039
  Copyright terms: Public domain W3C validator