Theorem cjap 10678

Description: Complex conjugate and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cjap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem cjap

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
3		cnre 7762	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	ad3antlr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5		simplrr 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℂ)
8		simplrr 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℂ)
10		apneg 8373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ -𝑦 # -𝑤))
11	7, 9, 10	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑦 # 𝑤 ↔ -𝑦 # -𝑤))
12	11	orbi2d 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
13		simpllr 523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
14		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
15	13, 14	breq12d 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
16		simplrl 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
18		simplrl 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
19		apreim 8365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
20	17, 6, 18, 8, 19	syl22anc 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
21	15, 20	bitrd 187	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
22	13	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐴) = (∗‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
23		cjreim 10675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∗‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 − (i · 𝑦)))
24	17, 6, 23	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 − (i · 𝑦)))
25	22, 24	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐴) = (𝑥 − (i · 𝑦)))
26	14	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐵) = (∗‘(𝑧 + (i · 𝑤))))
27		cjreim 10675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∗‘(𝑧 + (i · 𝑤))) = (𝑧 − (i · 𝑤)))
28	18, 8, 27	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘(𝑧 + (i · 𝑤))) = (𝑧 − (i · 𝑤)))
29	26, 28	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐵) = (𝑧 − (i · 𝑤)))
30	25, 29	breq12d 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ (𝑥 − (i · 𝑦)) # (𝑧 − (i · 𝑤))))
31	17	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℂ)
32		ax-icn 7715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → i ∈ ℂ)
34		submul2 8161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − (i · 𝑦)) = (𝑥 + (i · -𝑦)))
35	31, 33, 7, 34	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑥 − (i · 𝑦)) = (𝑥 + (i · -𝑦)))
36	18	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℂ)
37		submul2 8161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 − (i · 𝑤)) = (𝑧 + (i · -𝑤)))
38	36, 33, 9, 37	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑧 − (i · 𝑤)) = (𝑧 + (i · -𝑤)))
39	35, 38	breq12d 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 − (i · 𝑦)) # (𝑧 − (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 + (i · -𝑦)) # (𝑧 + (i · -𝑤))))
40	6	renegcld 8142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → -𝑦 ∈ ℝ)
41	8	renegcld 8142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → -𝑤 ∈ ℝ)
42		apreim 8365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · -𝑦)) # (𝑧 + (i · -𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
43	17, 40, 18, 41, 42	syl22anc 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 + (i · -𝑦)) # (𝑧 + (i · -𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
44	30, 39, 43	3bitrd 213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
45	12, 21, 44	3bitr4rd 220	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))
46	45	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
47	46	rexlimdvva 2557	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
48	4, 47	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))
49	48	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
50	49	rexlimdvva 2557	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
51	2, 50	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  ici 7622   + caddc 7623   · cmul 7625   − cmin 7933  -cneg 7934   # cap 8343  ∗ccj 10611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616

This theorem is referenced by:  cjap0  10679