ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreim GIF version

Theorem cjreim 9975
Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
cjreim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Proof of Theorem cjreim
StepHypRef Expression
1 recn 7204 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 7169 . . . 4 i ∈ ℂ
3 recn 7204 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcl 7198 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 405 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 cjadd 9956 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
71, 5, 6syl2an 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
8 cjre 9954 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
9 cjmul 9957 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
102, 3, 9sylancr 405 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
11 cji 9974 . . . . . 6 (∗‘i) = -i
1211a1i 9 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘i) = -i)
13 cjre 9954 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘𝐵) = 𝐵)
1412, 13oveq12d 5582 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐵)) = (-i · 𝐵))
15 mulneg1 7602 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
162, 3, 15sylancr 405 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
1710, 14, 163eqtrd 2119 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = -(i · 𝐵))
188, 17oveqan12d 5583 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))) = (𝐴 + -(i · 𝐵)))
19 negsub 7459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
201, 5, 19syl2an 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
217, 18, 203eqtrd 2119 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  cfv 4953  (class class class)co 5564  cc 7077  cr 7078  ici 7081   + caddc 7082   · cmul 7084  cmin 7382  -cneg 7383  ccj 9911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-2 8201  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916
This theorem is referenced by:  cjreim2  9976  cjap  9978
  Copyright terms: Public domain W3C validator