ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcaucn GIF version

Theorem climcaucn 9723
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 9719 but adds the part that (𝐹𝑘) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
climcauc.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcaucn ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcaucn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcauc.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpl 102 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 1rp 8534 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 9 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2041 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
6 climdm 9669 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
76biimpi 113 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
87adantl 262 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
91, 2, 4, 5, 8climi 9661 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
10 simpl 102 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1110ralimi 2381 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211reximi 2413 . . 3 (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 12syl 14 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
14 eluzelz 8430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514, 1eleq2s 2132 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
16 eqid 2040 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
1716climcau 9719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1815, 17sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1916r19.29uz 9444 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2019ex 108 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2120ralimdv 2385 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2218, 21mpan9 265 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2322an32s 502 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2423adantll 445 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2524ex 108 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
261, 16cau4 9566 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2726ad2antrl 459 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2825, 27sylibrd 158 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2928rexlimdvaa 2431 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
3029com23 72 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
3130imp 115 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3213, 31mpd 13 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2303  wrex 2304   class class class wbr 3761  dom cdm 4308  cfv 4865  (class class class)co 5475  cc 6844  1c1 6847   < clt 7016  cmin 7138  cz 8193  cuz 8421  +crp 8530  abscabs 9449  cli 9652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-mulrcl 6940  ax-addcom 6941  ax-mulcom 6942  ax-addass 6943  ax-mulass 6944  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-1rid 6948  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-precex 6951  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957  ax-pre-mulgt0 6958  ax-pre-mulext 6959  ax-arch 6960  ax-caucvg 6961
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-if 3329  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-reap 7518  df-ap 7525  df-div 7604  df-inn 7867  df-2 7925  df-3 7926  df-4 7927  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-rp 8531  df-iseq 9066  df-iexp 9109  df-cj 9296  df-re 9297  df-im 9298  df-rsqrt 9450  df-abs 9451  df-clim 9653
This theorem is referenced by:  serif0  9724
  Copyright terms: Public domain W3C validator