Theorem climconst 11059

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconst.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climconst.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		climconst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ 𝑍)
7		climconst.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subidd 8061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
9	8	fveq2d 5425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
10		abs0 10830	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
11	9, 10	syl6eq 2188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
12	11	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
13		rpgt0 9453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
14	13	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
15	12, 14	eqbrtrd 3950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
16	15	ralrimivw 2506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
17		fveq2 5421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 4	syl6eqr 2190	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
19	18	raleqdv 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
20	19	rspcev 2789	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
21	6, 16, 20	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
22	21	ralrimiva 2505	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
23		climconst.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		climconst.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
25	7	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	4, 1, 23, 24, 7, 25	clim2c 11053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
27	22, 26	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620   < clt 7800   − cmin 7933  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ℝ⁺crp 9441  abscabs 10769   ⇝ cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climconst2  11060  fsum3cvg  11147  fproddccvg  11341