Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climconst GIF version

Theorem climconst 10034
 Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climconst.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climconst.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3 (𝜑𝐹𝑉)
climconst.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climconst (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climconst.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 8582 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 climconst.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2147 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
65adantr 265 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑍)
7 climconst.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87subidd 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
98fveq2d 5209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
10 abs0 9877 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
119, 10syl6eq 2104 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
1211adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
13 rpgt0 8691 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1413adantl 266 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
1512, 14eqbrtrd 3811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
1615ralrimivw 2410 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
17 fveq2 5205 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
1817, 4syl6eqr 2106 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
1918raleqdv 2528 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2019rspcev 2673 . . . 4 ((𝑀𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
216, 16, 20syl2anc 397 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
2221ralrimiva 2409 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
23 climconst.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
24 climconst.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
257adantr 265 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
264, 1, 23, 24, 7, 25clim2c 10028 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2722, 26mpbird 160 1 (𝜑𝐹𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ∃wrex 2324   class class class wbr 3791  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539  ℂcc 6944  0cc0 6946   < clt 7118   − cmin 7244  ℤcz 8301  ℤ≥cuz 8568  ℝ+crp 8680  abscabs 9816   ⇝ cli 10022 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414  df-cj 9663  df-rsqrt 9817  df-abs 9818  df-clim 10023 This theorem is referenced by:  climconst2  10035
 Copyright terms: Public domain W3C validator