ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcvg1n GIF version

Theorem climcvg1n 9737
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climcvg1n (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcvg1n
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcvg1n.f . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
2 climcvg1n.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 climcvg1n.cau . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4 eqid 2040 . 2 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
5 fveq2 5156 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
65fveq2d 5160 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℑ‘(𝐹𝑥)))
76cbvmptv 3849 . 2 (𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
8 eqid 2040 . 2 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · ((𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦)))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · ((𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦)))‘𝑥)))
91, 2, 3, 4, 7, 8climcvg1nlem 9736 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1393  wral 2303   class class class wbr 3761  cmpt 3815  dom cdm 4323  wf 4876  cfv 4880  (class class class)co 5490  cc 6859  ici 6863   · cmul 6866   < clt 7031  cmin 7153   / cdiv 7618  cn 7881  cuz 8436  +crp 8545  cre 9309  cim 9310  abscabs 9464  cli 9667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289  ax-cnex 6947  ax-resscn 6948  ax-1cn 6949  ax-1re 6950  ax-icn 6951  ax-addcl 6952  ax-addrcl 6953  ax-mulcl 6954  ax-mulrcl 6955  ax-addcom 6956  ax-mulcom 6957  ax-addass 6958  ax-mulass 6959  ax-distr 6960  ax-i2m1 6961  ax-1rid 6963  ax-0id 6964  ax-rnegex 6965  ax-precex 6966  ax-cnre 6967  ax-pre-ltirr 6968  ax-pre-ltwlin 6969  ax-pre-lttrn 6970  ax-pre-apti 6971  ax-pre-ltadd 6972  ax-pre-mulgt0 6973  ax-pre-mulext 6974  ax-arch 6975  ax-caucvg 6976
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-if 3329  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-riota 5446  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-frec 5956  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-lti 6377  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-1nqqs 6421  df-rq 6422  df-ltnqqs 6423  df-enq0 6494  df-nq0 6495  df-0nq0 6496  df-plq0 6497  df-mq0 6498  df-inp 6536  df-i1p 6537  df-iplp 6538  df-iltp 6540  df-enr 6783  df-nr 6784  df-ltr 6787  df-0r 6788  df-1r 6789  df-0 6868  df-1 6869  df-r 6871  df-lt 6874  df-pnf 7033  df-mnf 7034  df-xr 7035  df-ltxr 7036  df-le 7037  df-sub 7155  df-neg 7156  df-reap 7533  df-ap 7540  df-div 7619  df-inn 7882  df-2 7940  df-3 7941  df-4 7942  df-n0 8145  df-z 8209  df-uz 8437  df-rp 8546  df-iseq 9081  df-iexp 9124  df-cj 9311  df-re 9312  df-im 9313  df-rsqrt 9465  df-abs 9466  df-clim 9668
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator