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Theorem climcvg1nlem 10387
 Description: Lemma for climcvg1n 10388. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 8787 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8511 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
43ffvelrnda 5354 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
54recld 10026 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 5374 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
8 climcvg1n.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
9 climcvg1n.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10 eluznn 8820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1110adantll 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
123ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
1312, 11ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413recld 10026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1615fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1716, 6fvmptg 5300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1811, 14, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
19 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2012, 19ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2120recld 10026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
22 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
2322fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2423, 6fvmptg 5300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2519, 21, 24syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2618, 25oveq12d 5581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2713, 20resubd 10049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2826, 27eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
2928fveq2d 5233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
3013, 20subcld 7538 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ)
31 absrele 10170 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3329, 32eqbrtrd 3825 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3430recld 10026 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
3534recnd 7261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℂ)
3628, 35eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
3736abscld 10268 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ)
3830abscld 10268 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
398ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4019nnrpd 8905 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4139, 40rpdivcld 8924 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4241rpred 8906 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43 lelttr 7318 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4437, 38, 42, 43syl3anc 1170 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4533, 44mpand 420 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4645ralimdva 2434 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4746ralimdva 2434 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
489, 47mpd 13 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
497, 8, 48climrecvg1n 10386 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
50 climdm 10335 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
5149, 50sylib 120 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52 nnex 8164 . . . 4 ℕ ∈ V
53 fex 5440 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
543, 52, 53sylancl 404 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
554imcld 10027 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
5755, 56fmptd 5374 . . . . . 6 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
5813imcld 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5915fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6059, 56fvmptg 5300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6111, 58, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6220imcld 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
6322fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6463, 56fvmptg 5300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6519, 62, 64syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6661, 65oveq12d 5581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6713, 20imsubd 10050 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6866, 67eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
6968fveq2d 5233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
70 absimle 10171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7269, 71eqbrtrd 3825 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7361, 58eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
7465, 62eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 7604 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℝ)
7675recnd 7261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℂ)
7776abscld 10268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ)
78 lelttr 7318 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
7977, 38, 42, 78syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8072, 79mpand 420 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8180ralimdva 2434 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8281ralimdva 2434 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
839, 82mpd 13 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
8457, 8, 83climrecvg1n 10386 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ dom ⇝ )
85 climdm 10335 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
8684, 85sylib 120 . . . 4 (𝜑𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87 ax-icn 7185 . . . . 5 i ∈ ℂ
8887a1i 9 . . . 4 (𝜑 → i ∈ ℂ)
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
9052mptex 5439 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))) ∈ V
9189, 90eqeltri 2155 . . . . 5 𝐽 ∈ V
9291a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ V)
93 ax-resscn 7182 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
9493a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9557, 94fssd 5106 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℂ)
9695ffvelrnda 5354 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
9789a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))))
98 fveq2 5229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑘))
9998oveq2d 5579 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
10099adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
101 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
10287a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103102, 96mulcld 7253 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
10497, 100, 101, 103fvmptd 5305 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (𝐻𝑘)))
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 10370 . . 3 (𝜑𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
1067ffvelrnda 5354 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
107106recnd 7261 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
108104, 103eqeltrd 2159 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
1093ffvelrnda 5354 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
110109replimd 10029 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
111109recld 10026 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
112101, 111, 17syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
113109imcld 10027 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
114101, 113, 60syl2anc 403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
115114oveq2d 5579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
116104, 115eqtrd 2115 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
117112, 116oveq12d 5581 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
118110, 117eqtr4d 2118 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)))
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 10365 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120 climrel 10320 . . 3 Rel ⇝
121120releldmi 4621 . 2 (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122119, 121syl 14 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  Vcvv 2610   ⊆ wss 2982   class class class wbr 3805   ↦ cmpt 3859  dom cdm 4391  ⟶wf 4948  ‘cfv 4952  (class class class)co 5563  ℂcc 7093  ℝcr 7094  1c1 7096  ici 7097   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267   ≤ cle 7268   − cmin 7398   / cdiv 7879  ℕcn 8158  ℤ≥cuz 8752  ℝ+crp 8867  ℜcre 9928  ℑcim 9929  abscabs 10084   ⇝ cli 10318 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-clim 10319 This theorem is referenced by:  climcvg1n  10388
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