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Theorem climcvg1nlem 10091
Description: Lemma for climcvg1n 10092. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 8603 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8328 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
43ffvelrnda 5329 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
54recld 9759 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 5349 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
8 climcvg1n.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
9 climcvg1n.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10 eluznn 8633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1110adantll 453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
123ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
1312, 11ffvelrnd 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413recld 9759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1615fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1716, 6fvmptg 5275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1811, 14, 17syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
19 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2012, 19ffvelrnd 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2120recld 9759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
22 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
2322fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2423, 6fvmptg 5275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2519, 21, 24syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2618, 25oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2713, 20resubd 9782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2826, 27eqtr4d 2091 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
2928fveq2d 5209 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
3013, 20subcld 7384 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ)
31 absrele 9902 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3329, 32eqbrtrd 3811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3430recld 9759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
3534recnd 7112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℂ)
3628, 35eqeltrd 2130 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
3736abscld 10000 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ)
3830abscld 10000 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
398ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4019nnrpd 8718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4139, 40rpdivcld 8737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4241rpred 8719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43 lelttr 7164 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4437, 38, 42, 43syl3anc 1146 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4533, 44mpand 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4645ralimdva 2404 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4746ralimdva 2404 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
489, 47mpd 13 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
497, 8, 48climrecvg1n 10090 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
50 climdm 10039 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
5149, 50sylib 131 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52 nnex 7995 . . . 4 ℕ ∈ V
53 fex 5415 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
543, 52, 53sylancl 398 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
554imcld 9760 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
5755, 56fmptd 5349 . . . . . 6 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
5813imcld 9760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5915fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6059, 56fvmptg 5275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6111, 58, 60syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6220imcld 9760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
6322fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6463, 56fvmptg 5275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6519, 62, 64syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6661, 65oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6713, 20imsubd 9783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6866, 67eqtr4d 2091 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
6968fveq2d 5209 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
70 absimle 9903 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7269, 71eqbrtrd 3811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7361, 58eqeltrd 2130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
7465, 62eqeltrd 2130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℝ)
7675recnd 7112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℂ)
7776abscld 10000 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ)
78 lelttr 7164 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
7977, 38, 42, 78syl3anc 1146 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8072, 79mpand 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8180ralimdva 2404 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8281ralimdva 2404 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
839, 82mpd 13 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
8457, 8, 83climrecvg1n 10090 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ dom ⇝ )
85 climdm 10039 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
8684, 85sylib 131 . . . 4 (𝜑𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87 ax-icn 7036 . . . . 5 i ∈ ℂ
8887a1i 9 . . . 4 (𝜑 → i ∈ ℂ)
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
9052mptex 5414 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))) ∈ V
9189, 90eqeltri 2126 . . . . 5 𝐽 ∈ V
9291a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ V)
93 ax-resscn 7033 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
9493a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9557, 94fssd 5082 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℂ)
9695ffvelrnda 5329 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
9789a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))))
98 fveq2 5205 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑘))
9998oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
10099adantl 266 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
101 simpr 107 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
10287a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103102, 96mulcld 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
10497, 100, 101, 103fvmptd 5280 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (𝐻𝑘)))
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 10074 . . 3 (𝜑𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
1067ffvelrnda 5329 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
107106recnd 7112 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
108104, 103eqeltrd 2130 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
1093ffvelrnda 5329 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
110109replimd 9762 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
111109recld 9759 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
112101, 111, 17syl2anc 397 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
113109imcld 9760 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
114101, 113, 60syl2anc 397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
115114oveq2d 5555 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
116104, 115eqtrd 2088 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
117112, 116oveq12d 5557 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
118110, 117eqtr4d 2091 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)))
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 10069 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120 climrel 10024 . . 3 Rel ⇝
121120releldmi 4600 . 2 (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122119, 121syl 14 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  Vcvv 2574  wss 2944   class class class wbr 3791  cmpt 3845  dom cdm 4372  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  1c1 6947  ici 6948   + caddc 6949   · cmul 6951   < clt 7118  cle 7119  cmin 7244   / cdiv 7724  cn 7989  cuz 8568  +crp 8680  cre 9661  cim 9662  abscabs 9816  cli 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060  ax-caucvg 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414  df-cj 9663  df-re 9664  df-im 9665  df-rsqrt 9817  df-abs 9818  df-clim 10023
This theorem is referenced by:  climcvg1n  10092
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