Theorem climlec2 11110

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlec2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climlec2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
climlec2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐵)
climlec2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climlec2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climlec2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climlec2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climlec2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		0z 9065	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		uzssz 9345	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
7		zex 9063	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	climconst2 11060	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
9	4, 5, 8	sylancl 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
10		climlec2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐵)
11		eluzelz 9335	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11, 1	eleq2s 2234	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
13		fvconst2g 5634	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
14	3, 12, 13	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
15	3	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℝ)
17		climlec2.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
18		climlec2.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	14, 18	eqbrtrd 3950	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
20	1, 2, 9, 10, 16, 17, 19	climle 11103	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ‘cfv 5123  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620   ≤ cle 7801  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326   ⇝ cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climub  11113