ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climserile GIF version

Theorem climserile 10096
Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climserile.2 (𝜑𝑁𝑍)
climserile.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
climserile.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climserile.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climserile (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserile
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climserile.2 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
3 climserile.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
42, 1syl6eleq 2146 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 8574 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climserile.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
81, 6, 7iserfre 9398 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ):𝑍⟶ℝ)
9 cnex 7063 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
109a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 ax-resscn 7034 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
131eleq2i 2120 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1413, 7sylan2br 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
15 readdcl 7065 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
1615adantl 266 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
17 addcl 7064 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
1817adantl 266 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
196, 10, 12, 14, 16, 18iseqss 9390 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
2019feq1d 5062 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ):𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℝ))
218, 20mpbid 139 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℝ)
2221ffvelrnda 5330 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℝ)
231peano2uzs 8623 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
24 fveq2 5206 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
2524breq2d 3804 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
2625imbi2d 223 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
27 climserile.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2827expcom 113 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)))
2926, 28vtoclga 2636 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
3029impcom 120 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
3123, 30sylan2 274 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
3224eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
3332imbi2d 223 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
347expcom 113 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
3533, 34vtoclga 2636 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
3635impcom 120 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
3723, 36sylan2 274 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
3822, 37addge01d 7598 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
3931, 38mpbid 139 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
40 simpr 107 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4140, 1syl6eleq 2146 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
429a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ℂ ∈ V)
4314adantlr 454 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4443recnd 7113 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4517adantl 266 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
4641, 42, 44, 45iseqp1 9389 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
4739, 46breqtrrd 3818 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑗 + 1)))
481, 2, 3, 22, 47climub 10095 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  wss 2945   class class class wbr 3792  wf 4926  cfv 4930  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950  cle 7120  cz 8302  cuz 8569  seqcseq 9375  cli 10030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061  ax-caucvg 7062
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-fz 8977  df-iseq 9376  df-iexp 9420  df-cj 9670  df-re 9671  df-im 9672  df-rsqrt 9825  df-abs 9826  df-clim 10031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator