ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrecnv GIF version

Theorem cnrecnv 9731
Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to from cnref1o 8679. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnrecnv 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
21cnref1o 8679 . . . . . 6 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3 f1ocnv 5166 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4 f1of 5153 . . . . . 6 (𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
52, 3, 4mp2b 8 . . . . 5 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
65a1i 9 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
76feqmptd 5253 . . 3 (⊤ → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
87trud 1268 . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧))
9 df-ov 5542 . . . . . . 7 ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10 recl 9674 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11 imcl 9675 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
1210recnd 7112 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
13 ax-icn 7036 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
1413a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1511recnd 7112 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 7104 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝑧)) ∈ ℂ)
1712, 16addcld 7103 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ)
18 oveq1 5546 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
19 oveq2 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
2019oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2118, 20, 1ovmpt2g 5662 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2210, 11, 17, 21syl3anc 1146 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
239, 22syl5eqr 2102 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
24 replim 9680 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2523, 24eqtr4d 2091 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
2625fveq2d 5209 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (𝐹𝑧))
27 opelxpi 4403 . . . . . 6 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
2810, 11, 27syl2anc 397 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
29 f1ocnvfv1 5444 . . . . 5 ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
302, 28, 29sylancr 399 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
3126, 30eqtr3d 2090 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
3231mpteq2ia 3870 . 2 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
338, 32eqtri 2076 1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wtru 1260  wcel 1409  cop 3405  cmpt 3845   × cxp 4370  ccnv 4371  wf 4925  1-1-ontowf1o 4928  cfv 4929  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  cc 6944  cr 6945  ici 6948   + caddc 6949   · cmul 6951  cre 9661  cim 9662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-2 8048  df-cj 9663  df-re 9664  df-im 9665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator