Theorem cnrecnv 10675

Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 9433. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	cnref1o 9433	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3		f1ocnv 5373	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → ◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4		f1of 5360	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 ⊢ ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	feqmptd 5467	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)))
8	7	mptru 1340	. 2 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧))
9		df-ov 5770	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10		recl 10618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11		imcl 10619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12	10	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
13		ax-icn 7708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
15	11	recnd 7787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 7779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝑧)) ∈ ℂ)
17	12, 16	addcld 7778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ)
18		oveq1 5774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
19		oveq2 5775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
20	19	oveq2d 5783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
21	18, 20, 1	ovmpog 5898	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
23	9, 22	syl5eqr 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
24		replim 10624	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
25	23, 24	eqtr4d 2173	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
26	25	fveq2d 5418	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (◡𝐹‘𝑧))
27		opelxpi 4566	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
28	10, 11, 27	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
29		f1ocnvfv1 5671	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
30	2, 28, 29	sylancr 410	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
31	26, 30	eqtr3d 2172	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32	31	mpteq2ia 4009	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
33	8, 32	eqtri 2158	1 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Syntax hints:   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3525   ↦ cmpt 3984   × cxp 4532  ^◡ccnv 4533  ⟶wf 5114  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767   ∈ cmpo 5769  ℂcc 7611  ℝcr 7612  ici 7615   + caddc 7616   · cmul 7618  ℜcre 10605  ℑcim 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  12751