ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  codir GIF version

Theorem codir 4741
Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
codir ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem codir
StepHypRef Expression
1 opelxp 4402 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐵))
2 df-br 3793 . . . . 5 (𝑥(𝑅𝑅)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅))
3 vex 2577 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4 vex 2577 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
5 brcodir 4740 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(𝑅𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧)))
63, 4, 5mp2an 410 . . . . 5 (𝑥(𝑅𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
72, 6bitr3i 179 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅) ↔ ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
81, 7imbi12i 232 . . 3 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧)))
982albii 1376 . 2 (∀𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅)) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧)))
10 relxp 4475 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
11 ssrel 4456 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅))))
1210, 11ax-mp 7 . 2 ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅)))
13 r2al 2360 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧)))
149, 12, 133bitr4i 205 1 ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧(𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wal 1257  wex 1397  wcel 1409  wral 2323  Vcvv 2574  wss 2945  cop 3406   class class class wbr 3792   × cxp 4371  ccnv 4372  ccom 4377  Rel wrel 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator