Theorem cotr 4920

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4548	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧)}
2	1	relopabi 4665	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∘ 𝑅)
3		ssrel 4627	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ∘ 𝑅) → ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5		vex 2689	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2689	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7	5, 6	opelco 4711	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8		df-br 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
9	8	bicomi 131	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
10	7, 9	imbi12i 238	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11		19.23v 1855	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	10, 11	bitr4i 186	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	albii 1446	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14		alcom 1454	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	13, 14	bitri 183	. . 3 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	15	albii 1446	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
17	4, 16	bitri 183	1 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929   ∘ ccom 4543  Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-co 4548

This theorem is referenced by:  xpidtr  4929  trin2  4930  dfer2  6430