ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cotr GIF version

Theorem cotr 4731
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4379 . . . 4 (𝑅𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧)}
21relopabi 4488 . . 3 Rel (𝑅𝑅)
3 ssrel 4453 . . 3 (Rel (𝑅𝑅) → ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
42, 3ax-mp 7 . 2 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5 vex 2575 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
6 vex 2575 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
75, 6opelco 4532 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧))
8 df-br 3790 . . . . . . . 8 (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
98bicomi 127 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅𝑥𝑅𝑧)
107, 9imbi12i 232 . . . . . 6 ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11 19.23v 1777 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1210, 11bitr4i 180 . . . . 5 ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1312albii 1373 . . . 4 (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14 alcom 1381 . . . 4 (∀𝑧𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1513, 14bitri 177 . . 3 (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1615albii 1373 . 2 (∀𝑥𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
174, 16bitri 177 1 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wal 1255  wex 1395  wcel 1407  wss 2942  cop 3403   class class class wbr 3789  ccom 4374  Rel wrel 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3790  df-opab 3844  df-xp 4376  df-rel 4377  df-co 4379
This theorem is referenced by:  xpidtr  4740  trin2  4741  dfer2  6135
  Copyright terms: Public domain W3C validator