Theorem crre 10629

Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
crre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Proof of Theorem crre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7715	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 7753	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 7747	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 410	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 7745	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		reval 10621	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
10		cjcl 10620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
11	7, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
12	7, 11	addcld 7785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
13	12	halfcld 8964	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
14	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		recl 10625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
16	7, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
17	9, 16	eqeltrrd 2217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℝ)
18		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 8143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
20	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
21	3	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	2, 21, 4	sylancr 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
23	7, 11	subcld 8073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
24	23	halfcld 8964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	subdid 8176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
26	14, 22, 14	pnpcand 8110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
27	22, 14, 22	pnpcan2d 8111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
28	26, 27	eqtr4d 2175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))))
29	28	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
30	14, 14	addcld 7785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
31	7, 11, 30	addsubd 8094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
32	22, 22	addcld 7785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32, 7, 11	subsubd 8101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
34	29, 31, 33	3eqtr4d 2182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
35	14	2timesd 8962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
36	35	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)))
37	22	2timesd 8962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)))
38	37	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
40	39	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2))
41		2cn 8791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		mulcl 7747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
43	41, 14, 42	sylancr 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
44	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
45		2ap0 8813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 # 0
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 # 0)
47	12, 43, 44, 46	divsubdirapd 8590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)))
48		mulcl 7747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
49	41, 22, 48	sylancr 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49, 23, 44, 46	divsubdirapd 8590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
51	40, 47, 50	3eqtr3d 2180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
52	14, 44, 46	divcanap3d 8555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
53	52	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴))
54	22, 44, 46	divcanap3d 8555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) / 2) = (i · 𝐵))
55	54	oveq1d 5789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
57	56	oveq2d 5790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
58	20, 20, 21	mulassd 7789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵)))
59	20, 23, 44, 46	divassapd 8586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
60	58, 59	oveq12d 5792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
61	25, 57, 60	3eqtr4d 2182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)))
62		ixi 8345	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
63		neg1rr 8826	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
64	62, 63	eqeltri 2212	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
65		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		remulcl 7748	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
67	64, 65, 66	sylancr 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
68		cjth 10618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ))
69	68	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
70	7, 69	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
71	70	rehalfcld 8966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) ∈ ℝ)
72	67, 71	resubcld 8143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) ∈ ℝ)
73	61, 72	eqeltrd 2216	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
74		rimul 8347	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
75	19, 73, 74	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
76	13, 14, 75	subeq0d 8081	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) = 𝐴)
77	9, 76	eqtrd 2172	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621  ici 7622   + caddc 7623   · cmul 7625   − cmin 7933  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  ∗ccj 10611  ℜcre 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779  df-cj 10614  df-re 10615

This theorem is referenced by:  crim  10630  replim  10631  mulreap  10636  recj  10639  reneg  10640  readd  10641  remullem  10643  rei  10671  crrei  10708  crred  10748  rennim  10774  absreimsq  10839