ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcxze GIF version

Theorem cvg1nlemcxze 10006
Description: Lemma for cvg1n 10010. Rearranging an expression related to the rate of convergence. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1nlemcxze.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.e (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.1 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcxze (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Proof of Theorem cvg1nlemcxze
StepHypRef Expression
1 cvg1nlemcxze.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rpcnd 8856 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 2cnd 8179 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4 cvg1nlemcxze.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
54rpcnd 8856 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
64rpap0d 8860 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 # 0)
72, 3, 5, 6div23apd 7981 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) = ((𝐶 / 𝑋) · 2))
8 2rp 8820 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
98a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
101, 9rpmulcld 8871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
1110, 4rpdivcld 8872 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ+)
12 cvg1nlemcxze.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
1312nnrpd 8853 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
1411, 13rpdivcld 8872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ+)
1514rpred 8854 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ)
16 cvg1nlemcxze.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nnred 8119 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 7210 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) ∈ ℝ)
19 cvg1nlemcxze.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
2019nnred 8119 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2116nnrpd 8853 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2215, 21ltaddrpd 8888 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴))
23 cvg1nlemcxze.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
2415, 18, 20, 22, 23lttrd 7302 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸)
2511rpred 8854 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ)
2625, 20, 13ltdivmul2d 8907 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸 ↔ ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍)))
2724, 26mpbid 145 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍))
287, 27eqbrtrrd 3815 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍))
291rpred 8854 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3029, 4rerpdivcld 8886 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) ∈ ℝ)
3119, 12nnmulcld 8154 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℕ)
3231nnred 8119 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ)
3330, 32, 9ltmuldivd 8902 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
3428, 33mpbid 145 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2))
3529, 9, 32, 4lt2mul2divd 8917 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
3634, 35mpbird 165 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋))
3731nncnd 8120 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
3837, 5mulcomd 7202 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
3936, 38breqtrd 3817 . 2 (𝜑 → (𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
404rpred 8854 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4131nnrpd 8853 . . 3 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ+)
4229, 9, 40, 41lt2mul2divd 8917 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2)))
4339, 42mpbid 145 1 (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   + caddc 7046   · cmul 7048   < clt 7215   / cdiv 7827  cn 8106  2c2 8156  +crp 8815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-rp 8816
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10009
  Copyright terms: Public domain W3C validator