ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddci GIF version

Theorem decaddci 8486
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4 𝑀 = 𝐴𝐵
decaddci.5 (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
Assertion
Ref Expression
decaddci (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decaddi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 8253 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decaddi.3 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decaddi.4 . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 8447 . 2 𝑁 = 0𝑁
71nn0cni 8250 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
87addid1i 7215 . . . 4 (𝐴 + 0) = 𝐴
98oveq1i 5549 . . 3 ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10 decaddci.5 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐷
119, 10eqtri 2076 . 2 ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12 decaddci.6 . 2 𝐶 ∈ ℕ0
13 decaddci.7 . 2 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 8480 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949  0cn0 8238  cdc 8426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-5 8051  df-6 8052  df-7 8053  df-8 8054  df-9 8055  df-n0 8239  df-dec 8427
This theorem is referenced by:  decaddci2  8487  6t4e24  8531  7t3e21  8535  7t5e35  8537  7t6e42  8538  8t3e24  8541  8t4e32  8542  8t7e56  8545  8t8e64  8546  9t3e27  8548  9t4e36  8549  9t5e45  8550  9t6e54  8551  9t7e63  8552  9t8e72  8553  9t9e81  8554
  Copyright terms: Public domain W3C validator