Theorem decaddci2 9243

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci2.6	⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;10

Assertion

Ref	Expression
decaddci2	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷0

Proof of Theorem decaddci2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
5		decaddci.5	. 2 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
6		0nn0 8992	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		decaddci2.6	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;10
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decaddci 9242	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷0

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623  ℕ₀cn0 8977  ;cdc 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-dec 9183

This theorem is referenced by:  5t4e20  9283  6t5e30  9288  8t5e40  9299