Theorem deccl 8329

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 8317	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 8154	. . 3 ⊢ 10 ∈ ℕ0
3		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 8326	. 2 ⊢ ((10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2110	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5475   + caddc 6849   · cmul 6851  10c10 7924  ℕ₀cn0 8129  ;cdc 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-setind 4232  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-mulcom 6942  ax-addass 6943  ax-mulass 6944  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-1rid 6948  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-sub 7140  df-inn 7867  df-2 7925  df-3 7926  df-4 7927  df-5 7928  df-6 7929  df-7 7930  df-8 7931  df-9 7932  df-10 7933  df-n0 8130  df-dec 8317

This theorem is referenced by: (None)