Theorem deccl 8157

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ A ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ B ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;AB ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 8145	. 2 ⊢ ;AB = ((10 · A) + B)
2		10nn0 7982	. . 3 ⊢ 10 ∈ ℕ0
3		deccl.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℕ0
4		deccl.2	. . 3 ⊢ B ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 8154	. 2 ⊢ ((10 · A) + B) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2107	1 ⊢ ;AB ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455   + caddc 6714   · cmul 6716  10c10 7752  ℕ₀cn0 7957  ;cdc 8144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-4 7755  df-5 7756  df-6 7757  df-7 7758  df-8 7759  df-9 7760  df-10 7761  df-n0 7958  df-dec 8145

This theorem is referenced by: (None)