ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decma2c GIF version

Theorem decma2c 8478
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplier 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decma2c.p 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.f 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.g 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.e ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.2 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 8443 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 8429 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2076 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 8429 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2076 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decma2c.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decma2c.f . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
14 decma2c.g . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
15 decma2c.e . . 3 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16 decma2c.2 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
17 dfdec10 8429 . . . 4 𝐺𝐹 = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
1816, 17eqtri 2076 . . 3 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 8471 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
20 dfdec10 8429 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
2119, 20eqtr4i 2079 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951  0cn0 8238  cdc 8426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-5 8051  df-6 8052  df-7 8053  df-8 8054  df-9 8055  df-n0 8239  df-dec 8427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator