ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decnncl2 GIF version

Theorem decnncl2 8570
Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
decnncl2.1 𝐴 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
decnncl2 𝐴0 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl2
StepHypRef Expression
1 dfdec10 8550 . 2 𝐴0 = ((10 · 𝐴) + 0)
2 10nn 8562 . . 3 10 ∈ ℕ
3 decnncl2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
42, 3numnncl2 8569 . 2 ((10 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2152 1 𝐴0 ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1434  (class class class)co 5537  0cc0 7032  1c1 7033   + caddc 7035   · cmul 7037  cn 8095  cdc 8547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-cnre 7138
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-iota 4891  df-fv 4934  df-ov 5540  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-4 8156  df-5 8157  df-6 8158  df-7 8159  df-8 8160  df-9 8161  df-dec 8548
This theorem is referenced by:  3dec  9728
  Copyright terms: Public domain W3C validator