Theorem dfabsmax 10989

Description: Absolute value of a real number in terms of maximum. Definition 3.13 of [Geuvers], p. 11. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfabsmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Proof of Theorem dfabsmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 10982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	mpdan 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		maxle2 10984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
6	2, 5	mpdan 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
7	1, 4, 6	lenegcon1d 8289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
8		maxle1 10983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
9	2, 8	mpdan 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
10		absle 10861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
11	4, 10	mpdan 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
12	7, 9, 11	mpbir2and 928	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
13		recn 7753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	abscld 10953	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15		leabs 10846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	2	leabsd 10933	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
17	13	absnegd 10961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
18	16, 17	breqtrd 3954	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
19		maxleast 10985	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ∧ -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
20	1, 2, 14, 15, 18, 19	syl32anc 1224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
21	14, 4	letri3d 7879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 928	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3528   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  supcsup 6869  ℝcr 7619   < clt 7800   ≤ cle 7801  -cneg 7934  abscabs 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by: (None)