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Theorem dfgcd2 10610
Description: Alternate definition of the gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁

Proof of Theorem dfgcd2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcl 10565 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
21nn0ge0d 8463 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
3 gcddvds 10562 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4 3anass 924 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝑒 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
5 ancom 262 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑒 ∈ ℤ))
64, 5bitri 182 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑒 ∈ ℤ))
7 dvdsgcd 10608 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
86, 7sylbir 133 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
98ralrimiva 2439 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
102, 3, 93jca 1119 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
1110adantr 270 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
12 breq2 3809 . . . . 5 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (0 ≤ 𝐷 ↔ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
13 breq1 3808 . . . . . 6 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐷𝑀 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀))
14 breq1 3808 . . . . . 6 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐷𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1513, 14anbi12d 457 . . . . 5 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝐷𝑀𝐷𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)))
16 breq2 3809 . . . . . . 7 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑒𝐷𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1716imbi2d 228 . . . . . 6 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
1817ralbidv 2373 . . . . 5 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
1912, 15, 183anbi123d 1244 . . . 4 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) ↔ (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))))
2019adantl 271 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) ↔ (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))))
2111, 20mpbird 165 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))
22 gcdval 10558 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
2322adantr 270 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
24 iftrue 3373 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 0)
2524adantr 270 . . . . . 6 (((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 0)
26 breq2 3809 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝐷𝑀𝐷 ∥ 0))
27 breq2 3809 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝐷𝑁𝐷 ∥ 0))
2826, 27bi2anan9 571 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐷𝑀𝐷𝑁) ↔ (𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0)))
29 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑒𝑀𝑒 ∥ 0))
30 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → (𝑒𝑁𝑒 ∥ 0))
3129, 30bi2anan9 571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) ↔ (𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0)))
3231imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷)))
3332ralbidv 2373 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷)))
3428, 333anbi23d 1247 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷))))
35 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∥ 0 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
36 dvds0 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℤ → 𝑒 ∥ 0)
3736, 36jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ ℤ → (𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0))
3837adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0))
39 pm5.5 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → (((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) ↔ 𝑒𝐷))
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) ↔ 𝑒𝐷))
4140ralbidva 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) ↔ ∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷))
42 0z 8495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℤ
43 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 0 → (𝑒𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
4443rspcv 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℤ → (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 ∥ 𝐷))
4542, 44ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 ∥ 𝐷)
46 0dvds 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
4746biimpd 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
48 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 = 𝐷𝐷 = 0)
4947, 48syl6ibr 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷 → 0 = 𝐷))
5045, 49syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ ℤ → (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 = 𝐷))
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 = 𝐷))
5241, 51sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷))
5352ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5453adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5535, 54syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ 0 → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5655adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5756com12 30 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 𝐷 → ((𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
58573imp 1133 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷)) → 0 = 𝐷)
5934, 58syl6bi 161 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → 0 = 𝐷))
6059adantld 272 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → 0 = 𝐷))
6160imp 122 . . . . . 6 (((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → 0 = 𝐷)
6225, 61eqtrd 2115 . . . . 5 (((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
6362ancoms 264 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
64 iffalse 3376 . . . . . . 7 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
6564adantr 270 . . . . . 6 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
66 lttri3 7310 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
6766adantl 271 . . . . . . 7 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
68 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑀 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
6968simpld 110 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑀𝐷 ∈ ℤ)
7069zred 8602 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑀𝐷 ∈ ℝ)
7170adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ ℝ)
72713ad2ant2 961 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7372ad2antll 475 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → 𝐷 ∈ ℝ)
74 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛𝑀𝑦𝑀))
75 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛𝑁𝑦𝑁))
7674, 75anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝑦𝑀𝑦𝑁)))
7776elrab 2757 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)))
78 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑦 → (𝑒𝑀𝑦𝑀))
79 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑦 → (𝑒𝑁𝑦𝑁))
8078, 79anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑦 → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) ↔ (𝑦𝑀𝑦𝑁)))
81 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑦 → (𝑒𝐷𝑦𝐷))
8280, 81imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑦 → (((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ((𝑦𝑀𝑦𝑁) → 𝑦𝐷)))
8382rspcv 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → ((𝑦𝑀𝑦𝑁) → 𝑦𝐷)))
8483com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦𝑀𝑦𝑁) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → 𝑦𝐷)))
8584imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → 𝑦𝐷))
8685ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → 𝑦𝐷))
87 elnn0z 8497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ ℕ0 ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷))
8887simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
8988adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
9068, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝑀 → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
9190adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
9291impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
93 zre 8488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
9493ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9594ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑦 ∈ ℝ)
9671ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐷 ∈ ℝ)
97 simp-5l 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
98 elnn0 8409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐷 ∈ ℕ0 ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∨ 𝐷 = 0))
99 2a1 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐷 ∈ ℕ → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
100 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 = 0 → (𝐷𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
101 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 = 0 → (𝐷𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
102100, 101anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐷 = 0 → ((𝐷𝑀𝐷𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
103102anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐷 = 0 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
104103adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐷 = 0 ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
105 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
106 zdceq 8556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
10742, 106mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
108 ianordc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (DECID 𝑀 = 0 → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0)))
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0)))
110109ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0)))
111105, 110mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
112 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ∥ 𝑀 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
113 0dvds 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
114 pm2.24 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
115113, 114syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
116115adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
117112, 116mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0 ∥ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
118117adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
119118com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑀 = 0 → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
120 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ∥ 𝑁 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
121 0dvds 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
122 pm2.24 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
123121, 122syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
124123adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
125120, 124mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0 ∥ 𝑁 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
126125adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
127126com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑁 = 0 → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
128119, 127jaoi 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
129111, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
130129adantld 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
131130adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐷 = 0 ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
132104, 131sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = 0 ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
133132ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐷 = 0 → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
13499, 133jaoi 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 ∈ ℕ ∨ 𝐷 = 0) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
13598, 134sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
136135impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
137136imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁))) → 𝐷 ∈ ℕ)
138 dvdsle 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
13997, 137, 138syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁))) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
140139exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))))
141140com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐷 → (𝐷 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑦𝐷))))
142141imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑦𝐷)))
143142impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑦𝐷))
144143imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑦𝐷)
14595, 96, 144lensymd 7350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ¬ 𝐷 < 𝑦)
146145exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ((𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
14792, 146mpan2d 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → (𝑦𝐷 → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
148147com13 79 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐷 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
14986, 148syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
150149com13 79 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
1511503impia 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
152151com12 30 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
153152expimpd 355 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
154153expimpd 355 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
15577, 154sylbi 119 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
156155impcom 123 . . . . . . 7 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}) → ¬ 𝐷 < 𝑦)
15769adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ ℤ)
158157ancri 317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
1591583ad2ant2 961 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
160159ad2antll 475 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
161160adantr 270 . . . . . . . . 9 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
162 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐷 → (𝑛𝑀𝐷𝑀))
163 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐷 → (𝑛𝑁𝐷𝑁))
164162, 163anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐷 → ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
165164elrab 2757 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
166161, 165sylibr 132 . . . . . . . 8 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)})
167 breq2 3809 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐷 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝐷))
168167adantl 271 . . . . . . . 8 ((((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) ∧ 𝑧 = 𝐷) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝐷))
169 simprr 499 . . . . . . . 8 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → 𝑦 < 𝐷)
170166, 168, 169rspcedvd 2716 . . . . . . 7 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}𝑦 < 𝑧)
17167, 73, 156, 170eqsuptid 6504 . . . . . 6 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) = 𝐷)
17265, 171eqtrd 2115 . . . . 5 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
173172ancoms 264 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
174 gcdmndc 10547 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
175174adantr 270 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
176 exmiddc 778 . . . . 5 (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
177175, 176syl 14 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
17863, 173, 177mpjaodan 745 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
17923, 178eqtr2d 2116 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁))
18021, 179impbida 561 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  {crab 2357  ifcif 3368   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  supcsup 6489  cr 7094  0cc0 7095   < clt 7267  cle 7268  cn 8158  0cn0 8407  cz 8484  cdvds 10403   gcd cgcd 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546
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