ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfimafn GIF version

Theorem dfimafn 5250
Description: Alternate definition of the image of a function. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
dfimafn ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dfimafn
StepHypRef Expression
1 ssel 2967 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
2 funbrfvb 5244 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
32ex 112 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦)))
41, 3syl9r 71 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))))
54imp31 247 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
65rexbidva 2340 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦))
76abbidv 2171 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦} = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦})
8 dfima2 4698 . 2 (𝐹𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦}
97, 8syl6reqr 2107 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  {cab 2042  wrex 2324  wss 2945   class class class wbr 3792  dom cdm 4373  cima 4376  Fun wfun 4924  cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  dfimafn2  5251  fvelimab  5257
  Copyright terms: Public domain W3C validator