Theorem dfmpt 5590

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 3986 (although it requires that 𝐵 be a set). (Contributed by NM, 24-Aug-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dfmpt	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩}

Proof of Theorem dfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5240	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2		vex 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		dfmpt.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	xpsn 5589	. . . 4 ⊢ ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩}
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6	5	iuneq2i 3826	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩}
7	1, 6	eqtri 2158	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩}

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  {csn 3522  ⟨cop 3525  ∪ ciun 3808   ↦ cmpt 3984   × cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125

This theorem is referenced by:  fnasrn  5591  dfmpo  6113