Theorem dfss1 3280

Description: A frequently-used variant of subclass definition df-ss 3084. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfss1	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem dfss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3084	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2		incom 3268	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
3	2	eqeq1i 2147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	1, 3	bitri 183	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  dfss5  3281  sseqin2  3295  onintexmid  4487  xpimasn  4987  fndmdif  5525  infiexmid  6771  ssfidc  6823  isumss  11160  znnen  11911