ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dif1en GIF version

Theorem dif1en 6367
Description: If a set 𝐴 is equinumerous to the successor of a natural number 𝑀, then 𝐴 with an element removed is equinumerous to 𝑀. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dif1en ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1en
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 916 . . . 4 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝑀)
21ensymd 6293 . . 3 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → suc 𝑀𝐴)
3 bren 6258 . . 3 (suc 𝑀𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴)
42, 3sylib 131 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴)
5 peano2 4345 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ ω)
6 nnfi 6363 . . . . . . . 8 (suc 𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ Fin)
75, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ Fin)
873ad2ant1 936 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → suc 𝑀 ∈ Fin)
9 enfii 6365 . . . . . 6 ((suc 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → 𝐴 ∈ Fin)
108, 1, 9syl2anc 397 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
1110adantr 265 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
12 simpl3 920 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
13 f1of 5153 . . . . . 6 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓:suc 𝑀𝐴)
1413adantl 266 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓:suc 𝑀𝐴)
15 sucidg 4180 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
16153ad2ant1 936 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
1716adantr 265 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
1814, 17ffvelrnd 5330 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
19 fidifsnen 6361 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑓𝑀) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
2011, 12, 18, 19syl3anc 1146 . . 3 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
21 nnord 4361 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
22 orddif 4298 . . . . . . . 8 (Ord 𝑀𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
24233ad2ant1 936 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2524adantr 265 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2623eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → (𝑀 ∈ ω ↔ (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω))
2726ibi 169 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
28273ad2ant1 936 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
2928adantr 265 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
30 dff1o2 5158 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 Fn suc 𝑀 ∧ Fun 𝑓 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
3130simp2bi 931 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → Fun 𝑓)
3231adantl 266 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → Fun 𝑓)
33 f1ofo 5160 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓:suc 𝑀onto𝐴)
3433adantl 266 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓:suc 𝑀onto𝐴)
35 f1orel 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → Rel 𝑓)
3635adantl 266 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → Rel 𝑓)
37 resdm 4676 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝑓 → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = 𝑓)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = 𝑓)
39 f1odm 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = suc 𝑀)
4039reseq2d 4639 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
4140adantl 266 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
4238, 41eqtr3d 2090 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓 = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
43 foeq1 5129 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑓 ↾ suc 𝑀) → (𝑓:suc 𝑀onto𝐴 ↔ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴))
4442, 43syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓:suc 𝑀onto𝐴 ↔ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴))
4534, 44mpbid 139 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴)
46 simpl1 918 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ∈ ω)
47 f1osng 5194 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ω ∧ (𝑓𝑀) ∈ 𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)})
4846, 18, 47syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)})
49 f1ofo 5160 . . . . . . . . 9 ({⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)} → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
5048, 49syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
51 f1ofn 5154 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓 Fn suc 𝑀)
5251adantl 266 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓 Fn suc 𝑀)
53 fnressn 5376 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩})
5452, 17, 53syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩})
55 foeq1 5129 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩} → ((𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)} ↔ {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}))
5654, 55syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → ((𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)} ↔ {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}))
5750, 56mpbird 160 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
58 resdif 5175 . . . . . . 7 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴 ∧ (𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}) → (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
5932, 45, 57, 58syl3anc 1146 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
60 f1oeng 6267 . . . . . 6 (((suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω ∧ (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)})) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6129, 59, 60syl2anc 397 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6225, 61eqbrtrd 3811 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6362ensymd 6293 . . 3 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
64 entr 6294 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ∧ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
6520, 63, 64syl2anc 397 . 2 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
664, 65exlimddv 1794 1 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  cdif 2941  {csn 3402  cop 3405   class class class wbr 3791  Ord word 4126  suc csuc 4129  ωcom 4340  ccnv 4371  dom cdm 4372  ran crn 4373  cres 4374  Rel wrel 4377  Fun wfun 4923   Fn wfn 4924  wf 4925  ontowfo 4927  1-1-ontowf1o 4928  cfv 4929  cen 6249  Fincfn 6251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-er 6136  df-en 6252  df-fin 6254
This theorem is referenced by:  findcard  6375  findcard2  6376  findcard2s  6377  diffisn  6380
  Copyright terms: Public domain W3C validator