Theorem dif1o 6328

Description: Two ways to say that 𝐴 is a nonzero number of the set 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1o	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem dif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6319	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
2	1	difeq2i 3186	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 1o) = (𝐵 ∖ {∅})
3	2	eleq2i 2204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {∅}))
4		eldifsn 3645	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5	3, 4	bitri 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306   ∖ cdif 3063  ∅c0 3358  {csn 3522  1_oc1o 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-nul 3359  df-sn 3528  df-suc 4288  df-1o 6306

This theorem is referenced by: (None)