Theorem diffifi 6788

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		simp1 981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simp3 983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		sseq1 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
5	4	anbi2d 459	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6		difeq2 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
7	6	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
8	5, 7	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9		sseq1 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10	9	anbi2d 459	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
11		difeq2 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝑦))
12	11	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
13	10, 12	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)))
14		sseq1 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 459	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16		difeq2 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
17	16	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
18	15, 17	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19		sseq1 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	19	anbi2d 459	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
21		difeq2 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝐵))
22	21	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
23	20, 22	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)))
24		dif0 3433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
25	24	eleq1i 2205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
26	25	biimpri 132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
27	26	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28		difun1 3336	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧})
29		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simprr 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
31	30	unssad 3253	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
33	29, 31, 32	mp2and 429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
34		vsnid 3557	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
35		simprr 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
36	35	unssbd 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
37	36	sseld 3096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ 𝐴))
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
39	38	adantllr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
40		simpllr 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
41	39, 40	eldifd 3081	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
42		diffisn 6787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
44	28, 43	eqeltrid 2226	. . . . 5 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
45	44	exp31 361	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6784	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
47	46	imp 123	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∖ cdif 3068   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  unfiin  6814  fihashssdif  10564  hashdifpr  10566  fsumlessfi  11229  hash2iun1dif1  11249