ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distnq0r GIF version

Theorem distnq0r 6767
Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. Version of distrnq0 6763 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distnq0r ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴) = ((𝐵 ·Q0 𝐴) +Q0 (𝐶 ·Q0 𝐴)))

Proof of Theorem distnq0r
StepHypRef Expression
1 distrnq0 6763 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))
2 addclnq0 6755 . . . 4 ((𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐵 +Q0 𝐶) ∈ Q0)
3 mulcomnq0 6764 . . . 4 ((𝐴Q0 ∧ (𝐵 +Q0 𝐶) ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴))
42, 3sylan2 280 . . 3 ((𝐴Q0 ∧ (𝐵Q0𝐶Q0)) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴))
543impb 1135 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴))
6 mulcomnq0 6764 . . . 4 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
763adant3 959 . . 3 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
8 mulcomnq0 6764 . . . 4 ((𝐴Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 𝐴))
983adant2 958 . . 3 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 𝐴))
107, 9oveq12d 5581 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)) = ((𝐵 ·Q0 𝐴) +Q0 (𝐶 ·Q0 𝐴)))
111, 5, 103eqtr3d 2123 1 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴) = ((𝐵 ·Q0 𝐴) +Q0 (𝐶 ·Q0 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5563  Q0cnq0 6591   +Q0 cplq0 6593   ·Q0 cmq0 6594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-mi 6610  df-enq0 6728  df-nq0 6729  df-plq0 6731  df-mq0 6732
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6806
  Copyright terms: Public domain W3C validator