ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg GIF version

Theorem distrnqg 6543
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6526 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6529 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
4 mulclpi 6484 . . . . . . 7 ((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N)
5 simpl 106 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → 𝑦N)
6 mulclpi 6484 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
75, 6jca 294 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
84, 7anim12i 325 . . . . . 6 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
9 an12 503 . . . . . . 7 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
10 3anass 900 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
119, 10bitr4i 180 . . . . . 6 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
128, 11sylib 131 . . . . 5 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
1312an4s 530 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
14 mulcanenqec 6542 . . . 4 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
163, 15eqtr4d 2091 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q )
17 mulpipqqs 6529 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
18 mulpipqqs 6529 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
19 addpipqqs 6526 . 2 ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
20 mulclpi 6484 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
21 mulclpi 6484 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
22 addclpi 6483 . . . . 5 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2320, 21, 22syl2an 277 . . . 4 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2423an42s 531 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2625ad2ant2l 485 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2724, 26jca 294 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
28 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
29 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3028, 29anim12i 325 . . 3 (((𝑥N𝑧N) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
3130an4s 530 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
32 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑥N𝑣N) → (𝑥 ·N 𝑣) ∈ N)
33 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
3432, 33anim12i 325 . . 3 (((𝑥N𝑣N) ∧ (𝑦N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
3534an4s 530 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
36 an42 529 . . . . 5 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
3736anbi2i 438 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
38 3anass 900 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))))
39 3anass 900 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
4037, 38, 393bitr4i 205 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
41 mulclpi 6484 . . . . . 6 ((𝑦N𝑥N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
4241ancoms 259 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
43 distrpig 6489 . . . . 5 (((𝑦 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1188 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
45 simp1r 940 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
46 simp1l 939 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
47203ad2ant2 937 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
48213ad2ant3 938 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
4947, 48, 22syl2anc 397 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
50 mulasspig 6488 . . . . 5 ((𝑦N𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1146 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
52 mulcompig 6487 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5352oveq1d 5555 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
5453adantr 265 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
55 simpll 489 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑥N)
56 simplr 490 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑦N)
57 simprl 491 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑧N)
58 mulcompig 6487 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
5958adantl 266 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
60 mulasspig 6488 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6160adantl 266 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
62 simprr 492 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑢N)
63 mulclpi 6484 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6463adantl 266 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5713 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
6654, 65eqtr3d 2090 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
67663adant3 935 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
68 simplr 490 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
69 simpll 489 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
70 simprl 491 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
7158adantl 266 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
7260adantl 266 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
73 simprr 492 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑣N)
7463adantl 266 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5713 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
76753adant2 934 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
7767, 76oveq12d 5558 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7844, 51, 773eqtr3d 2096 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7940, 78sylbir 129 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
80703adant2 934 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
81623adant3 935 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑢N)
8280, 81, 25syl2anc 397 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
83 mulasspig 6488 . . . . 5 ((𝑦N𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1146 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8558adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
8660adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
8763adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5713 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
8984, 88eqtr3d 2090 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
9040, 89sylbir 129 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6249 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3406  (class class class)co 5540  [cec 6135  Ncnpi 6428   +N cpli 6429   ·N cmi 6430   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   +Q cplq 6438   ·Q cmq 6439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6563  halfnqq  6566  addnqprl  6685  addnqpru  6686  prmuloclemcalc  6721  distrlem1prl  6738  distrlem1pru  6739  distrlem4prl  6740  distrlem4pru  6741
  Copyright terms: Public domain W3C validator