ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg GIF version

Theorem distrnqg 7163
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7124 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 7146 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 7149 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
4 mulclpi 7104 . . . . . . 7 ((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N)
5 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → 𝑦N)
6 mulclpi 7104 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
75, 6jca 304 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
84, 7anim12i 336 . . . . . 6 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
9 an12 535 . . . . . . 7 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
10 3anass 951 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
119, 10bitr4i 186 . . . . . 6 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
128, 11sylib 121 . . . . 5 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
1312an4s 562 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
14 mulcanenqec 7162 . . . 4 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
163, 15eqtr4d 2153 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q )
17 mulpipqqs 7149 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
18 mulpipqqs 7149 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
19 addpipqqs 7146 . 2 ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
20 mulclpi 7104 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
21 mulclpi 7104 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
22 addclpi 7103 . . . . 5 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2320, 21, 22syl2an 287 . . . 4 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2423an42s 563 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25 mulclpi 7104 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2625ad2ant2l 499 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2724, 26jca 304 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
28 mulclpi 7104 . . . 4 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
29 mulclpi 7104 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3028, 29anim12i 336 . . 3 (((𝑥N𝑧N) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
3130an4s 562 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
32 mulclpi 7104 . . . 4 ((𝑥N𝑣N) → (𝑥 ·N 𝑣) ∈ N)
33 mulclpi 7104 . . . 4 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
3432, 33anim12i 336 . . 3 (((𝑥N𝑣N) ∧ (𝑦N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
3534an4s 562 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
36 an42 561 . . . . 5 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
3736anbi2i 452 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
38 3anass 951 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))))
39 3anass 951 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
4037, 38, 393bitr4i 211 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
41 mulclpi 7104 . . . . . 6 ((𝑦N𝑥N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
4241ancoms 266 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
43 distrpig 7109 . . . . 5 (((𝑦 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1243 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
45 simp1r 991 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
46 simp1l 990 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
47203ad2ant2 988 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
48213ad2ant3 989 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
4947, 48, 22syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
50 mulasspig 7108 . . . . 5 ((𝑦N𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1201 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
52 mulcompig 7107 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5352oveq1d 5757 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
5453adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
55 simpll 503 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑥N)
56 simplr 504 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑦N)
57 simprl 505 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑧N)
58 mulcompig 7107 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
5958adantl 275 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
60 mulasspig 7108 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6160adantl 275 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
62 simprr 506 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑢N)
63 mulclpi 7104 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6463adantl 275 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5923 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
6654, 65eqtr3d 2152 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
67663adant3 986 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
68 simplr 504 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
69 simpll 503 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
70 simprl 505 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
7158adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
7260adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
73 simprr 506 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑣N)
7463adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5923 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
76753adant2 985 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
7767, 76oveq12d 5760 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7844, 51, 773eqtr3d 2158 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7940, 78sylbir 134 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
80703adant2 985 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
81623adant3 986 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑢N)
8280, 81, 25syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
83 mulasspig 7108 . . . . 5 ((𝑦N𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1201 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8558adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
8660adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
8763adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5923 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
8984, 88eqtr3d 2152 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
9040, 89sylbir 134 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6509 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  cop 3500  (class class class)co 5742  [cec 6395  Ncnpi 7048   +N cpli 7049   ·N cmi 7050   ~Q ceq 7055  Qcnq 7056   +Q cplq 7058   ·Q cmq 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7183  halfnqq  7186  addnqprl  7305  addnqpru  7306  prmuloclemcalc  7341  distrlem1prl  7358  distrlem1pru  7359  distrlem4prl  7360  distrlem4pru  7361
  Copyright terms: Public domain W3C validator